Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Dados la recta $r \equiv x = y = z$, el plano $\pi \equiv x + 2y - 3z = 0$ y el punto $P = (1,1,1)$, se pide:

a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$. [1 punto]

b) Hallar la recta perpendicular a $r$ y contenida en $\pi$ que pasa por $P$. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar la posición relativa de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

La posición relativa se decide con el producto escalar del director de la recta por la normal del plano, y, si se anula, mirando si un punto de la recta está en el plano.

$\vec v_r=(1,1,1)\qquad \vec n_{\pi}=(1,2,-3)\qquad O(0,0,0)\in r$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=1+2-3=0$

La recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos el origen, que es un punto de $r$:

$0+2\cdot 0-3\cdot 0=0$

Como lo cumple, la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.

$\textbf{b) Hallar la recta perpendicular a } \boldsymbol{r}\textbf{ y contenida en } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por } \boldsymbol{P}\textbf{. [1 punto]}$

El punto $P(1,1,1)$ está en la recta $r$, ya que $1=1=1$, y también en el plano, ya que $1+2-3=0$: la recta buscada corta a $r$ precisamente en $P$.



Su vector director tiene que ser perpendicular al de $r$ —para que las rectas lo sean— y perpendicular a la normal de $\pi$ —para que la recta quede dentro del plano—. El producto vectorial de ambos cumple las dos cosas a la vez.

$\vec v_s=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}=(-5,\,4,\,1)$

$s\equiv\begin{cases} x=1-5\lambda \\ y=1+4\lambda \\ z=1+\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos las dos condiciones. Es perpendicular a $r$, porque $(-5,4,1)\cdot(1,1,1)=0$; y está contenida en $\pi$, porque todos sus puntos lo cumplen:

$(1-5\lambda)+2(1+4\lambda)-3(1+\lambda)=1-5\lambda+2+8\lambda-3-3\lambda=0$

La recta pedida es $s\equiv (1-5\lambda,\,1+4\lambda,\,1+\lambda)$.