Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema: [1,2 puntos]

$\begin{cases} \lambda x + y - z = 1 \\ -x + y + 2z = 0 \\ 2y + \lambda z = 1 \end{cases}$

b) Resolverlo para $\lambda = 1$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Discutir según los valores del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el siguiente sistema. [1,2 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & \lambda & 1 \end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la primera columna, que ya tiene un cero:

$|A|=\lambda\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix}=\lambda(\lambda-4)+(\lambda+2)$

$|A|=\lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases} \lambda=1 \\ \lambda=2 \end{cases}$

Si $\lambda\neq 1$ y $\lambda\neq 2$, el determinante no se anula y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda=1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

y se observa que la tercera fila es la suma de las otras dos, también en el término independiente: la tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras y sobra.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Para $\lambda=2$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right)$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=2+0-2+1-0-2\cdot 0=1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden: el sistema es incompatible.

En resumen: compatible determinado si $\lambda\neq 1$ y $\lambda\neq 2$, compatible indeterminado si $\lambda=1$ e incompatible si $\lambda=2$.

$\textbf{b) Resolverlo para } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Por el apartado anterior la tercera ecuación es redundante, así que resolvemos las dos primeras.

$\begin{cases} x+y-z=1 \\ -x+y+2z=0 \end{cases}$

Sumándolas desaparece $x$:

$2y+z=1 \Rightarrow z=1-2y$

y sustituyendo en la primera ecuación se despeja $x$:

$x=1-y+z=1-y+1-2y=2-3y$

Tomando $y=\mu$ como parámetro:

$\begin{cases} x=2-3\mu \\ y=\mu \\ z=1-2\mu \end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que es la que se ha descartado: $2\mu+(1-2\mu)=1$.

Las soluciones para $\lambda=1$ son los infinitos puntos de la recta $(2-3\mu,\,\mu,\,1-2\mu)$.