Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular:

a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. [1 punto]

b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. [1 punto]

Llamamos $X$ al tiempo diario, en minutos, que un habitante de Astorga usa el móvil. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(160;\ 30)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z=\dfrac{X-160}{30}\sim N(0,1)$.

$\textbf{a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. [1 punto]}$

Lo primero es pasar el dato a las unidades de la distribución: dos horas son $120$ minutos.

$P(X<120)=P\left(Z<\dfrac{120-160}{30}\right)=P(Z<-1{,}33)$

La tabla solo recoge valores positivos, de modo que aprovechamos la simetría de la campana:

$P(Z<-1{,}33)=1-P(Z<1{,}33)=1-\Phi(1{,}33)$

$P(X<120)=1-0{,}9082=0{,}0918$



La probabilidad de que un habitante use el móvil menos de dos horas al día es $0{,}0918$.

$\textbf{b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. [1 punto]}$

Tres horas y cincuenta minutos son $3\cdot 60+50=230$ minutos.

$P(X>230)=P\left(Z>\dfrac{230-160}{30}\right)=P(Z>2{,}33)$

$P(Z>2{,}33)=1-\Phi(2{,}33)=1-0{,}9901=0{,}0099$



Solo el $0{,}99\%$ de los habitantes de Astorga usa el móvil más de tres horas y cincuenta minutos al día, es decir, aproximadamente uno de cada cien.