Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcular:

a) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x(e^{x}-1)}{\cos(x)-1}$. [1 punto]

b) $\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-x}(x-1)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x(e^{x}-1)}{\cos(x)-1}}\textbf{. [1 punto]}$

Al sustituir aparece una indeterminación, porque numerador y denominador se anulan a la vez.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\left(e^{x}-1\right)}{\cos(x)-1}=\dfrac{0\cdot 0}{1-1}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\left(e^{x}-1\right)}{\cos(x)-1}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1+xe^{x}}{-\operatorname{sen}(x)}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+e^{x}+xe^{x}}{-\cos(x)}=\dfrac{1+1+0}{-1}=-2$

El valor del límite es $-2$.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-x}(x-1)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, caso típico de integración por partes tomando como $u$ el polinomio.

$\begin{cases} u=x-1 & du=dx \\ dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x} \end{cases}$

$\int e^{-x}(x-1)\,dx=-(x-1)e^{-x}+\int e^{-x}dx=-(x-1)e^{-x}-e^{-x}$

$\int e^{-x}(x-1)\,dx=-e^{-x}\left(x-1+1\right)=-xe^{-x}$

Se comprueba derivando: $\left(-xe^{-x}\right)'=-e^{-x}+xe^{-x}=e^{-x}(x-1)$.

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_{0}^{2}e^{-x}(x-1)\,dx=\left[-xe^{-x}\right]_{0}^{2}=-2e^{-2}-0$

$\int_{0}^{2}e^{-x}(x-1)\,dx=-\dfrac{2}{e^{2}}\approx -0{,}271$

El valor de la integral es $-\dfrac{2}{e^{2}}\approx -0{,}271$. Es negativa porque en casi todo el intervalo el integrando lo es: solo pasa a ser positivo a partir de $x=1$.