Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Dada la función $f(x) = e^{x}x^{-1}$, determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x) = e^{x}x^{-1}}\textbf{, determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. [2 puntos]}$

La función es el cociente $f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}$, de modo que el único punto problemático es el que anula el denominador.

$\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Asíntota vertical. En $x=0$ el numerador vale $1$ y el denominador se anula, así que los límites laterales son infinitos y de distinto signo:

$\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty \qquad \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

luego $x=0$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. En el infinito las dos ramas se comportan de manera distinta:

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{0}{-\infty}=0 \qquad \lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$

de modo que $y=0$ es asíntota horizontal solo por la izquierda.

Monotonía. Derivamos con la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{e^{x}\,x-e^{x}}{x^{2}}=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$

Como $e^{x}>0$ y $x^{2}>0$, el signo de la derivada es el de $x-1$. Hay que tener en cuenta, además, que $x=0$ no está en el dominio y separa dos ramas.

La función decrece en $(-\infty,0)$ y en $(0,1)$, y crece en $(1,+\infty)$. En $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo:

$f(1)=\dfrac{e^{1}}{1}=e\approx 2{,}718 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(1,e)$

En la rama de la izquierda no hay extremos: la función baja desde $0$ hasta $-\infty$ sin cambiar de sentido. Con todo lo anterior, la gráfica es