Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x) = x^{3} + Ax^{2} + Bx + C$. Determinar el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$ tales que $f(-1) = 0$, la función $f$ presenta un extremo relativo en $x = 0$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en $x = -1$ es paralela a la recta de ecuación $y + 3x = 0$. [2 puntos]

$\textbf{Se considera la función } \boldsymbol{f(x) = x^{3} + Ax^{2} + Bx + C}\textbf{. Determinar el valor de los parámetros } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ tales que } \boldsymbol{f(-1) = 0}\textbf{, la función } \boldsymbol{f}\textbf{ presenta un extremo relativo en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ es paralela a la recta de ecuación } \boldsymbol{y + 3x = 0}\textbf{. [2 puntos]}$

Cada una de las tres condiciones se traduce en una ecuación. Como dos de ellas hablan de la pendiente, empezamos calculando la derivada.

$f'(x)=3x^{2}+2Ax+B$

La primera condición es que la gráfica pase por $(-1,0)$:

$f(-1)=-1+A-B+C=0$

La segunda, que haya un extremo relativo en $x=0$, obliga a que la derivada se anule ahí:

$f'(0)=B=0$

La tercera dice que la tangente en $x=-1$ es paralela a $y=-3x$, cuya pendiente es $-3$; dos rectas paralelas tienen la misma pendiente:

$f'(-1)=3-2A+B=-3$

Sustituyendo ya $B=0$ en esta última:

$3-2A=-3 \Rightarrow -2A=-6 \Rightarrow A=3$

Y llevando $A=3$ y $B=0$ a la primera ecuación:

$-1+3-0+C=0 \Rightarrow C=-2$

Queda comprobar que en $x=0$ hay realmente un extremo y no un punto de inflexión, para lo cual miramos la segunda derivada:

$f(x)=x^{3}+3x^{2}-2 \Rightarrow f''(x)=6x+6 \Rightarrow f''(0)=6>0$

Se trata de un mínimo relativo, luego las tres condiciones se cumplen con $A=3$, $B=0$ y $C=-2$.