Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) Determinar los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los que las dos rectas

$r_1 \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = kt \\ z = k - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ y $r_2 \equiv \begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ x + y + z = k \end{cases}$

son paralelas. [1 punto]

b) Para $k = 2$, ¿existe algún plano que contenga a las rectas $r_1$ y $r_2$? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar los valores del parámetro } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ para los que las dos rectas son paralelas. [1 punto]}$

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales, así que empezamos por obtener el de cada una.

De las paramétricas de $r_1$ se lee directamente:

$P_1(1,0,k)\qquad \vec v_1=(0,k,-2)$

La recta $r_2$ viene dada como intersección de dos planos, de modo que su director es perpendicular a las dos normales:

$\vec v_2=(1,2,2)\times(1,1,1)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(0,\,1,\,-1)$

Imponemos la proporcionalidad $\vec v_1=\lambda\,\vec v_2$:

$\dfrac{k}{1}=\dfrac{-2}{-1}=2 \Rightarrow k=2$

Comprobamos además que para ese valor las rectas no coinciden: el punto $P_1(1,0,2)$ no cumple la primera ecuación de $r_2$, ya que $1+0+4=5\neq -1$.

Las rectas son paralelas —y distintas— únicamente para $k=2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{k = 2}\textbf{, ¿existe algún plano que contenga a las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan. [1 punto]}$

Sí existe, y además es único: dos rectas paralelas y distintas determinan siempre un plano y solo uno, el que pasa por una de ellas y por cualquier punto de la otra.



Necesitamos un punto de $r_2$. Resolvemos su sistema con $k=2$ dando un valor a una incógnita:

$\begin{cases} x+2y+2z=-1 \\ x+y+z=2 \end{cases}\quad\text{restando}\quad y+z=-3$

Tomando $z=0$ resulta $y=-3$ y $x=2-(-3)=5$, es decir, $B(5,-3,0)$.

El plano queda determinado por el punto $P_1(1,0,2)$ y los vectores $\vec v_2$ y $\overrightarrow{P_1B}$:

$\overrightarrow{P_1B}=(5,-3,0)-(1,0,2)=(4,-3,-2)$

$\vec n=\vec v_2\times\overrightarrow{P_1B}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & -2 \end{vmatrix}=(-5,\,-4,\,-4)$

Cambiando el signo, $\vec n=(5,4,4)$, y el plano es

$\pi\equiv 5x+4y+4z+D=0$

$P_1(1,0,2)\in\pi:\ 5+0+8+D=0 \Rightarrow D=-13$

$\pi\equiv 5x+4y+4z-13=0$

Se comprueba con un punto más de cada recta: $(1,2,0)$ de $r_1$ da $5+8-13=0$ y $(5,-4,1)$ de $r_2$ da $25-16+4-13=0$.

El único plano que contiene a las dos rectas es $\pi\equiv 5x+4y+4z-13=0$.