Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Hallar el punto simétrico del punto $P = (1,0,-1)$ respecto de la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{2}$. [2 puntos]

$\textbf{Hallar el punto simétrico del punto } \boldsymbol{P = (1,0,-1)}\textbf{ respecto de la recta } \boldsymbol{r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{2}}\textbf{. [2 puntos]}$

El simétrico se obtiene en tres fases: i) se construye el plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$; ii) se corta ese plano con la recta, lo que da el pie $M$ de la perpendicular; iii) se impone que $M$ sea el punto medio del segmento $\overline{PP'}$.



De la ecuación continua leemos un punto y el vector director de la recta:

$A(1,0,0)\qquad \vec v_r=(1,2,2)$

i) El plano perpendicular a $r$ tiene por vector normal el director de la recta:

$\pi\equiv x+2y+2z+D=0$

$P(1,0,-1)\in\pi:\ 1+0-2+D=0 \Rightarrow D=1 \Rightarrow \pi\equiv x+2y+2z+1=0$

ii) Escribimos $r$ en paramétricas y sustituimos en el plano:

$r\equiv (1+t,\,2t,\,2t)$

$(1+t)+2(2t)+2(2t)+1=0 \Rightarrow 9t+2=0 \Rightarrow t=-\dfrac{2}{9}$

$M=\left(1-\dfrac{2}{9},\,-\dfrac{4}{9},\,-\dfrac{4}{9}\right)=\left(\dfrac{7}{9},-\dfrac{4}{9},-\dfrac{4}{9}\right)$

iii) Como $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, se despeja este último:

$P'=2M-P=\left(\dfrac{14}{9}-1,\,-\dfrac{8}{9}-0,\,-\dfrac{8}{9}+1\right)$

$P'=\left(\dfrac{5}{9},-\dfrac{8}{9},\dfrac{1}{9}\right)$

El punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$ es $P'\left(\dfrac{5}{9},-\dfrac{8}{9},\dfrac{1}{9}\right)$.