Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

El tamaño de las truchas que hay en el río Tormes, entre el pantano de Santa Teresa y su paso por Fresno Alhándiga, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 28 cm y desviación típica de 6 cm.

a) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm. [1,5 puntos]

b) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm? [1 punto]

Llamamos $X$ al tamaño en centímetros de una trucha tomada al azar en ese tramo del río. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(28;\ 6)$

y para consultar la tabla trabajaremos con la variable tipificada $Z=\dfrac{X-28}{6}\sim N(0,1)$.

$\textbf{a) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm. [1,5 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo:

$P(19<X<40)=P\left(\dfrac{19-28}{6}<Z<\dfrac{40-28}{6}\right)=P(-1{,}5<Z<2)$

$P(-1{,}5<Z<2)=\Phi(2)-\Phi(-1{,}5)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que el negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$

$P(19<X<40)=0{,}9772-0{,}0668=0{,}9104$



El $91{,}04\%$ de las truchas mide entre $19$ y $40$ centímetros.

$\textbf{b) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm? [1 punto]}$

Es una probabilidad condicionada. Como el suceso «medir más de $42$» está contenido en el suceso «medir más de $38$», la intersección de ambos es el primero:

$P(X>42\mid X>38)=\dfrac{P\left(X>42\ \text{y}\ X>38\right)}{P(X>38)}=\dfrac{P(X>42)}{P(X>38)}$

Tipificamos los dos valores, redondeando a las dos cifras decimales de la tabla:

$P(X>42)=P\left(Z>\dfrac{14}{6}\right)=P(Z>2{,}33)=1-0{,}9901=0{,}0099$

$P(X>38)=P\left(Z>\dfrac{10}{6}\right)=P(Z>1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475$



$P(X>42\mid X>38)=\dfrac{0{,}0099}{0{,}0475}\approx 0{,}208$

Sabiendo que una trucha medía más de $38$ centímetros, la probabilidad de que midiera más de $42$ es aproximadamente $0{,}208$, es decir, algo más de una de cada cinco.