Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean el plano $\pi \equiv x + y - z = 2$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{-3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$.

a) Calcular la ecuación de un plano $\pi'$ paralelo al plano $\pi$ y que esté a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades de la recta $r$. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta. [1,5 puntos]

b) Calcular la ecuación de un plano $\pi''$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por los puntos $P(1,0,1)$ y $Q(0,1,0)$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular la ecuación de un plano } \boldsymbol{\pi'}\textbf{ paralelo al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que esté a una distancia de } \boldsymbol{2\sqrt{3}}\textbf{ unidades de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta. [1,5 puntos]}$

Para que la distancia de una recta a un plano tenga sentido —es decir, para que sea la misma desde todos sus puntos— la recta ha de ser paralela al plano. Lo comprobamos antes de nada.

$\vec n_{\pi}=(1,1,-1)\qquad \vec v_r=(-3,2,-1)\qquad A_r(1,0,2)$

$\vec n_{\pi}\cdot\vec v_r=-3+2+1=0$

$1+0-2=-1\neq 2 \Rightarrow A_r\notin\pi$

La recta es paralela a $\pi$ y no está contenida en él. Como $\pi'$ es paralelo a $\pi$, también será paralelo a $r$ y su distancia a la recta será la distancia de cualquier punto de esta al plano; tomamos $A_r$.

$\pi'\equiv x+y-z=D$

$d(r,\pi')=d(A_r,\pi')=\dfrac{\left|1+0-2-D\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{\left|-1-D\right|}{\sqrt{3}}$

$\dfrac{|1+D|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \Rightarrow |1+D|=2\cdot 3=6$

El valor absoluto da dos posibilidades:

$1+D=6 \Rightarrow D=5 \qquad 1+D=-6 \Rightarrow D=-7$

$\pi'_1\equiv x+y-z=5 \qquad \pi'_2\equiv x+y-z=-7$



El plano no es único: hay dos, uno a cada lado de la recta, y era de esperar, porque la condición de distancia no dice hacia qué lado hay que separarse.

$\textbf{b) Calcular la ecuación de un plano } \boldsymbol{\pi''}\textbf{ perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pasa por los puntos } \boldsymbol{P(1,0,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q(0,1,0)}\textbf{. [1 punto]}$

El plano pedido contiene la dirección $\overrightarrow{PQ}$ y, por ser perpendicular a $\pi$, contiene también la dirección de $\vec n_{\pi}$. Su normal es el producto vectorial de las dos.

$\overrightarrow{PQ}=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)$

$\vec n_{\pi''}=\overrightarrow{PQ}\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}=(0,\,-2,\,-2)$

Dividiendo entre $-2$ nos quedamos con $\vec n_{\pi''}=(0,1,1)$.

$\pi''\equiv y+z+D=0$

Imponemos que pase por $P(1,0,1)$:

$0+1+D=0 \Rightarrow D=-1$

$\pi''\equiv y+z-1=0$

Se comprueba que $Q(0,1,0)$ también lo cumple, $1+0-1=0$, y que es perpendicular a $\pi$, porque $(0,1,1)\cdot(1,1,-1)=0+1-1=0$.