Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean el plano $\pi \equiv 5x + my + z = 2$ y la recta $r \equiv (x,y,z) = (1,1,0) + t(-1,-1,2)$, con $t \in \mathbb{R}$.

a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$ en función de $m$. [1,5 puntos]

b) Para $m = 1$, calcular el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar la posición relativa de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi}\textbf{ en función de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La posición relativa de una recta y un plano se decide con el producto escalar del vector director por el vector normal: si no se anula, la recta atraviesa el plano; si se anula, la recta es paralela al plano o está contenida en él, y para distinguirlo basta mirar un punto.

$\vec n_{\pi}=(5,m,1)\qquad \vec v_r=(-1,-1,2)\qquad P_r(1,1,0)$

$\vec n_{\pi}\cdot\vec v_r=-5-m+2=-3-m$

$-3-m=0 \Rightarrow m=-3$

Si $m\neq -3$, el producto escalar no es nulo y la recta y el plano son secantes: se cortan en un único punto.

Si $m=-3$, la dirección de la recta es perpendicular a la normal, y comprobamos si el punto $P_r$ satisface la ecuación del plano:

$5\cdot 1+(-3)\cdot 1+0=2$

Se cumple, luego para $m=-3$ la recta está contenida en el plano. No hay, por tanto, ningún valor de $m$ para el que sean paralelos y disjuntos.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = 1}\textbf{, calcular el plano } \boldsymbol{\pi'}\textbf{ que contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

El plano buscado tiene que contener la dirección de $r$ y, por ser perpendicular a $\pi$, también la dirección de la normal de $\pi$. Su vector normal es entonces el producto vectorial de ambas.

$\vec n_{\pi'}=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(-3,\,11,\,4)$

Cambiando el signo, que no altera la dirección, tomamos $\vec n_{\pi'}=(3,-11,-4)$.

$\pi'\equiv 3x-11y-4z+D=0$

Imponemos que pase por el punto $P_r(1,1,0)$ de la recta:

$3-11-0+D=0 \Rightarrow D=8$

$\pi'\equiv 3x-11y-4z+8=0$



Comprobamos las dos condiciones: contiene a $r$, porque pasa por $P_r$ y su normal es ortogonal al director, $3(-1)-11(-1)-4\cdot 2=0$; y es perpendicular a $\pi$, porque las dos normales son ortogonales, $(3,-11,-4)\cdot(5,1,1)=15-11-4=0$.