Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Se considera la función $f(x) = x^{2}e^{-x}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, definidos ambos en todo $\mathbb{R}$.

$\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}$

Derivamos y sacamos factor común la exponencial, que es siempre positiva:

$f'(x)=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=xe^{-x}(2-x)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

El signo de la derivada es el del producto $x(2-x)$, una parábola con las ramas hacia abajo: negativa fuera de las raíces y positiva entre ellas.



La función decrece en $(-\infty,0)$, crece en $(0,2)$ y vuelve a decrecer en $(2,+\infty)$; hay un mínimo relativo en el primer punto crítico y un máximo relativo en el segundo.

$f(0)=0 \Rightarrow \text{mínimo relativo }(0,0)$

$f(2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^{2}}\approx 0{,}541 \Rightarrow \text{máximo relativo }\left(2,\dfrac{4}{e^{2}}\right)$

No hay asíntotas verticales, porque el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua. En el infinito las dos ramas se comportan de forma muy distinta:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}}{e^{x}}=0$

porque la exponencial crece más deprisa que cualquier potencia, de modo que $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha.

$\lim_{x\to -\infty}x^{2}e^{-x}=(+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty$

Por la izquierda no hay asíntota horizontal, y tampoco oblicua, ya que la pendiente no es finita:

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}e^{-x}}{x}=\lim_{x\to -\infty}xe^{-x}=-\infty$

$\textbf{b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y el eje de abscisas en el intervalo } \boldsymbol{[0,2]}\textbf{. [1 punto]}$

Como $f(x)=x^{2}e^{-x}\geq 0$ para todo $x$, el recinto está entero por encima del eje y el área coincide con la integral definida.



Calculamos una primitiva integrando por partes dos veces, bajando en cada paso el grado del polinomio.

$\begin{cases} u=x^{2} & du=2x\,dx \\ dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x} \end{cases}$

$\int x^{2}e^{-x}dx=-x^{2}e^{-x}+2\int xe^{-x}dx$

$\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}$

$\int x^{2}e^{-x}dx=-e^{-x}\left(x^{2}+2x+2\right)$

Aplicando la regla de Barrow:

$\mathcal{A}=\left[-e^{-x}\left(x^{2}+2x+2\right)\right]_{0}^{2}=-e^{-2}(4+4+2)+2$

$\mathcal{A}=2-\dfrac{10}{e^{2}}\approx 0{,}647$

El área de la región es $2-\dfrac{10}{e^{2}}\approx 0{,}647$ unidades de área.