Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Sea la función $f(x) = 12x + 3x^{2} - 2x^{3}$.

a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y su recta tangente en el punto $x = 1$. [1,5 puntos]

b) Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x^{2})}{x\,f(x)}$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y su recta tangente en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Empezamos por la recta tangente, que necesita el valor de la función y el de su derivada en el punto.

$f(1)=12+3-2=13$

$f'(x)=12+6x-6x^{2} \Rightarrow f'(1)=12+6-6=12$

$y-13=12(x-1) \Rightarrow y=12x+1$

Los límites de integración son las abscisas en que la curva y la recta se cortan. Restamos las dos expresiones e igualamos a cero:

$f(x)-(12x+1)=-2x^{3}+3x^{2}-1$

Como la recta es tangente en $x=1$, esa abscisa es raíz doble; dividiendo por $(x-1)$ se factoriza el resto:

$-2x^{3}+3x^{2}-1=(x-1)\left(-2x^{2}+x+1\right)=-2(x-1)^{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$

$\begin{cases} x=1\ (\text{doble}) \\ x=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$

El recinto queda, por tanto, entre $x=-\dfrac{1}{2}$ y $x=1$. En su interior el factor $(x-1)^{2}$ es positivo y $x+\dfrac{1}{2}$ también, así que $f(x)-(12x+1)<0$: la recta va por encima de la curva.



$\mathcal{A}=\int_{-1/2}^{1}\left[(12x+1)-f(x)\right]dx=\int_{-1/2}^{1}\left(2x^{3}-3x^{2}+1\right)dx$

$=\left[\dfrac{x^{4}}{2}-x^{3}+x\right]_{-1/2}^{1}$

$=\left(\dfrac{1}{2}-1+1\right)-\left(\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{32}$

$\mathcal{A}=\dfrac{27}{32}=0{,}84375$

El área del recinto es $\dfrac{27}{32}\approx 0{,}844$ unidades de área.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x^{2})}{x\,f(x)}}\textbf{, donde } \boldsymbol{\ln}\textbf{ denota el logaritmo neperiano. [1 punto]}$

Sustituyendo directamente aparece una indeterminación, porque tanto el numerador como el denominador se anulan en $x=0$.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1+x^{2}\right)}{x\left(12x+3x^{2}-2x^{3}\right)}=\dfrac{\ln 1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Desarrollamos el denominador y aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1+x^{2}\right)}{12x^{2}+3x^{3}-2x^{4}}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{2x}{1+x^{2}}}{24x+9x^{2}-8x^{3}}$

Sigue siendo del tipo $\dfrac{0}{0}$, pero ahora basta sacar factor común $x$ y simplificarlo:

$=\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\left(1+x^{2}\right)x\left(24+9x-8x^{2}\right)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2}{\left(1+x^{2}\right)\left(24+9x-8x^{2}\right)}$

$=\dfrac{2}{1\cdot 24}=\dfrac{1}{12}$

El valor del límite es $\dfrac{1}{12}$.