Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Dado $k \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones

$\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}$

Discutir el sistema según los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ y resolverlo para $k = -1$. [1,5 puntos]

b) Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^{2} = I + 3A$, donde $I$ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de $A$ no es cero y expresar $A^{-1}$ en función de $A$ y de $I$. [1 punto]

$\textbf{a) Dado } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{, se considera el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}}\textbf{. Discutir el sistema según los valores del parámetro } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ y resolverlo para } \boldsymbol{k = -1}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Se trata de dos ecuaciones con tres incógnitas, de modo que ni la matriz de coeficientes ni la ampliada pueden tener rango mayor que $2$.

$A=\begin{pmatrix} k & -1 & -1 \\ 1 & k & 2k \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} k & -1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 2k & k \end{array}\right)$

El rango de $A$ solo puede bajar de $2$ si sus dos filas son proporcionales. Supongamos que $(k,-1,-1)=\lambda(1,k,2k)$; las dos últimas componentes exigen

$\begin{cases} -1=\lambda k \\ -1=2\lambda k \end{cases}$

y restando, $0=\lambda k=-1$, que es imposible. Las filas no son proporcionales para ningún valor de $k$, luego

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$

Sea cual sea $k$, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. No hay, pues, ningún valor de $k$ que lo haga incompatible ni determinado.

Para $k=-1$ el sistema es

$\begin{cases} -x-y-z=1 \\ x-y-2z=-1 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $x$:

$-2y-3z=0 \Rightarrow y=-\dfrac{3z}{2}$

Para evitar denominadores tomamos como parámetro $z=2\lambda$, con lo que $y=-3\lambda$, y despejamos $x$ de la primera ecuación:

$x=-1-y-z=-1+3\lambda-2\lambda=-1+\lambda$

$\begin{cases} x=-1+\lambda \\ y=-3\lambda \\ z=2\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar: $(-1+\lambda)+3\lambda-4\lambda=-1$.

Las soluciones para $k=-1$ son los infinitos puntos de la recta $(-1+\lambda,\,-3\lambda,\,2\lambda)$.

$\textbf{b) Sea } \boldsymbol{A}\textbf{ una matriz cuadrada que verifica } \boldsymbol{A^{2} = I + 3A}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de } \boldsymbol{A}\textbf{ no es cero y expresar } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ en función de } \boldsymbol{A}\textbf{ y de } \boldsymbol{I}\textbf{. [1 punto]}$

La idea es sacar factor común $A$ en la relación dada para dejar un producto que valga la identidad, porque entonces el otro factor es la inversa.

$A^{2}-3A=I$

$A\left(A-3I\right)=I$

Tomando determinantes y usando que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$|A|\cdot\left|A-3I\right|=|I|=1$

Un producto de dos números vale $1$ solo si ninguno de ellos es cero, luego $|A|\neq 0$ y la matriz es invertible.

Sabido eso, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en la igualdad $A(A-3I)=I$:

$A^{-1}A\left(A-3I\right)=A^{-1} \Rightarrow A-3I=A^{-1}$

$A^{-1}=A-3I$