Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean las rectas $r \equiv \dfrac{x}{4} = \dfrac{y-1}{-2} = \dfrac{z}{2}$ y $s \equiv x-1 = \dfrac{y-m}{m-1} = \dfrac{z-3}{3}$.

a) Comprobar que las rectas $r$ y $s$ se cortan para cualquier valor de $m$. [1,5 puntos]

b) Para $m = 6$ hallar el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\textbf{a) Comprobar que las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ se cortan para cualquier valor de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Leemos de las ecuaciones continuas un punto y un vector director de cada recta.

$r:\ P_r(0,1,0),\quad \vec v_r=(4,-2,2)$

$s:\ P_s(1,m,3),\quad \vec v_s=(1,m-1,3)$

Dos rectas se cortan cuando tienen algún punto común y no son la misma. Aquí no hace falta resolver ningún sistema, porque al restar al punto de $s$ su propio vector director aparece justamente el punto de $r$:

$P_s-\vec v_s=(1,m,3)-(1,m-1,3)=(0,1,0)=P_r$

Es decir, el punto $P(0,1,0)$ pertenece a $s$ (se obtiene con el parámetro $-1$) y es el punto de partida de $r$. Las dos rectas pasan por él sea cual sea $m$.

Falta descartar que sean la misma recta, para lo cual basta ver que los directores no son proporcionales:

$\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 4 & -2 & 2 \\ 1 & m-1 & 3 \end{vmatrix}=(-2m-4,\,-10,\,4m-2)$

La segunda componente vale $-10$ cualquiera que sea $m$, así que el producto vectorial nunca es el vector nulo y los directores nunca son paralelos.



Al tener un punto común y direcciones distintas, $r$ y $s$ son secantes para todo $m\in\mathbb{R}$, y además se cortan siempre en el mismo punto.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = 6}\textbf{ hallar el punto de intersección de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

Por el apartado anterior el punto es $P(0,1,0)$, pero lo confirmamos resolviendo el sistema. Escribimos las dos rectas en paramétricas con $m=6$:

$r\equiv\begin{cases} x=4t \\ y=1-2t \\ z=2t \end{cases}\qquad s\equiv\begin{cases} x=1+u \\ y=6+5u \\ z=3+3u \end{cases}$

Igualando las coordenadas:

$\begin{cases} 4t=1+u \\ 1-2t=6+5u \\ 2t=3+3u \end{cases}$

De la tercera ecuación, $u=\dfrac{2t-3}{3}$; sustituyendo en la primera:

$12t=3+2t-3 \Rightarrow 10t=0 \Rightarrow t=0 \Rightarrow u=-1$

Comprobamos que esos valores cumplen también la segunda ecuación, que es la que no se ha usado:

$1-2\cdot 0=1 \qquad 6+5\cdot(-1)=1$

Llevando $t=0$ a la recta $r$, el punto de corte es $P(0,1,0)$.