Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Se considera la función $f(x) = 2xe^{-2x^{2}}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, ambos definidos en todo $\mathbb{R}$, y no hay denominadores ni radicales.

$\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}$

Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común la exponencial, que no se anula nunca:

$f'(x)=2e^{-2x^{2}}+2x\cdot(-4x)e^{-2x^{2}}=2e^{-2x^{2}}\left(1-4x^{2}\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow 1-4x^{2}=0 \Rightarrow x^{2}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}$

El signo de $f'(x)$ es el del factor $1-4x^{2}$, que es una parábola con las ramas hacia abajo: positiva entre las raíces y negativa fuera.



La función decrece en $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)$, crece en $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ y vuelve a decrecer en $\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$.

Hay, por tanto, un mínimo relativo donde pasa de decrecer a crecer y un máximo relativo donde pasa de crecer a decrecer:

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-e^{-1/2}=-\dfrac{1}{\sqrt{e}}\approx -0{,}607 \Rightarrow \text{mínimo relativo }\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\approx 0{,}607 \Rightarrow \text{máximo relativo }\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$

Al ser el dominio todo $\mathbb{R}$ y la función continua, no hay asíntotas verticales. En el infinito la exponencial decreciente domina al factor lineal:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{e^{2x^{2}}}=0$

luego $y=0$ es asíntota horizontal en las dos ramas y no hay asíntotas oblicuas.

$\textbf{b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y el eje de abscisas en el intervalo } \boldsymbol{[0,2]}\textbf{. [1 punto]}$

En $[0,2]$ se cumple $x\geq 0$ y la exponencial es positiva, de modo que $f(x)\geq 0$: el recinto queda entero por encima del eje y el área es la integral definida, sin partirla.



Resolvemos con el cambio de variable que sugiere el exponente:

$\begin{cases} t=-2x^{2} \\ dt=-4x\,dx \Rightarrow 2x\,dx=-\dfrac{dt}{2} \end{cases}$

$\int 2xe^{-2x^{2}}\,dx=-\dfrac{1}{2}\int e^{t}\,dt=-\dfrac{1}{2}e^{-2x^{2}}$

$\mathcal{A}=\int_{0}^{2}2xe^{-2x^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x^{2}}\right]_{0}^{2}=-\dfrac{1}{2}e^{-8}+\dfrac{1}{2}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1-e^{-8}}{2}\approx 0{,}4998$

El área de la región es $\dfrac{1-e^{-8}}{2}\approx 0{,}4998$ unidades de área, prácticamente $\dfrac{1}{2}$, porque la cola de la curva a partir de $x=1{,}5$ ya no aporta casi nada.