Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} mx + 2y + z = 1 \\ 2x + my + z = m \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}$, donde $m \in \mathbb{R}$.

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$, indicando el número de soluciones en cada caso. [1,5 puntos]

b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m = 3$. [1 punto]

$\textbf{a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{, indicando el número de soluciones en cada caso. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} m & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} m & 2 & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 & m \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante de $A$ por la primera fila:

$|A|=m\begin{vmatrix} m & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2 & m \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=m(m-2)-2(-3)+(4-5m)$

$|A|=m^{2}-7m+10=(m-2)(m-5)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases} m=2 \\ m=5 \end{cases}$

Si $m\neq 2$ y $m\neq 5$, el determinante no se anula y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

Para $m=2$ la matriz ampliada queda

$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Las dos primeras filas de $A$ son iguales, pero los términos independientes no: la primera y la segunda ecuación se contradicen. En términos de rangos,

$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=4-10=-6\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=2+10+2-5-4-2=3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos son distintos: el sistema es incompatible y no tiene solución.

Para $m=5$ la matriz ampliada queda

$\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Ahora la primera y la tercera filas son iguales también en el término independiente, así que la tercera ecuación es la primera repetida y sobra.

$\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=25-4=21\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

$\textbf{b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para } \boldsymbol{m = 3}\textbf{. [1 punto]}$

Como $m=3$ no es ninguno de los dos valores críticos, $|A|=(3-2)(3-5)=-2\neq 0$ y el sistema es compatible determinado.

$\begin{cases} 3x+2y+z=1 \\ 2x+3y+z=3 \\ 5x+2y+z=1 \end{cases}$

La primera y la tercera ecuación solo se diferencian en el coeficiente de $x$, de modo que restándolas se obtiene esa incógnita de golpe:

$(5x+2y+z)-(3x+2y+z)=1-1 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

Sustituyendo en la primera y la segunda ecuación queda un sistema de dos por dos:

$\begin{cases} 2y+z=1 \\ 3y+z=3 \end{cases}$

$(3y+z)-(2y+z)=3-1 \Rightarrow y=2 \Rightarrow z=1-2\cdot 2=-3$

La solución, única, es $x=0$, $y=2$, $z=-3$, como se comprueba sustituyendo en la segunda ecuación: $0+6-3=3$.