Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

El agua almacenada diariamente en el pantano de Riaño durante el año 2025 (365 días) sigue una distribución normal con media $337{,}2\ \text{hm}^{3}$ y desviación típica $40{,}5\ \text{hm}^{3}$.

a) Elegido al azar un día del año 2025, calcular la probabilidad de que el agua almacenada haya sido superior a $299{,}94\ \text{hm}^{3}$. [1 punto]

b) Calcular el número probable de días que en 2025 tuvieron almacenada una cantidad de agua comprendida entre $299{,}94\ \text{hm}^{3}$ y $350{,}16\ \text{hm}^{3}$. [1 punto]

c) Razonar, utilizando sólo resultados de los apartados anteriores, si, en este contexto, es correcto afirmar que «el número de días con una cantidad de agua almacenada comprendida entre $310\ \text{hm}^{3}$ y $330\ \text{hm}^{3}$ debería estar entre 170 y 180». [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al agua almacenada en un día del año 2025, medida en $\text{hm}^{3}$. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(337{,}2;\ 40{,}5)$

y para usar la tabla trabajaremos con la variable tipificada $Z=\dfrac{X-337{,}2}{40{,}5}\sim N(0,1)$.

$\textbf{a) Elegido al azar un día del año 2025, calcular la probabilidad de que el agua almacenada haya sido superior a } \boldsymbol{299{,}94\ \text{hm}^{3}}\textbf{. [1 punto]}$

Tipificamos el valor y pasamos a la $N(0,1)$:

$P(X>299{,}94)=P\left(Z>\dfrac{299{,}94-337{,}2}{40{,}5}\right)=P(Z>-0{,}92)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que usamos la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(Z>-0{,}92)=P(Z<0{,}92)=\Phi(0{,}92)=0{,}8212$



La probabilidad de que un día tomado al azar tuviera almacenados más de $299{,}94\ \text{hm}^{3}$ es $0{,}8212$.

$\textbf{b) Calcular el número probable de días que en 2025 tuvieron almacenada una cantidad de agua comprendida entre } \boldsymbol{299{,}94\ \text{hm}^{3}}\textbf{ y } \boldsymbol{350{,}16\ \text{hm}^{3}}\textbf{. [1 punto]}$

Tipificamos ahora los dos extremos del intervalo:

$P(299{,}94<X<350{,}16)=P(-0{,}92<Z<0{,}32)=\Phi(0{,}32)-\Phi(-0{,}92)$

$\Phi(-0{,}92)=1-\Phi(0{,}92)=1-0{,}8212=0{,}1788$

$P(-0{,}92<Z<0{,}32)=0{,}6255-0{,}1788=0{,}4467$



El número probable de días se obtiene multiplicando esa proporción por los días del año:

$0{,}4467\cdot 365=163{,}05$

En 2025 cabe esperar unos $163$ días con una cantidad de agua almacenada entre $299{,}94$ y $350{,}16\ \text{hm}^{3}$.

$\textbf{c) Razonar, utilizando sólo resultados de los apartados anteriores, si, en este contexto, es correcto afirmar que «el número de días con una cantidad de agua almacenada comprendida entre } \boldsymbol{310\ \text{hm}^{3}}\textbf{ y } \boldsymbol{330\ \text{hm}^{3}}\textbf{ debería estar entre 170 y 180». [0,5 puntos]}$

No hace falta ningún cálculo nuevo: basta comparar los dos intervalos, porque el nuevo está contenido en el del apartado anterior.

$299{,}94<310 \quad\text{y}\quad 330<350{,}16 \Rightarrow (310,\,330)\subset(299{,}94;\ 350{,}16)$

Si un suceso está contenido en otro, su probabilidad es menor, y lo mismo le ocurre al número de días esperado:

$P(310<X<330)<P(299{,}94<X<350{,}16)=0{,}4467$

$\text{días}<163$

La afirmación es incorrecta: el número de días del intervalo más estrecho tiene que ser menor que $163$, así que en ningún caso puede estar entre $170$ y $180$.