Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Los puntos $A(1,1,1)$ y $B(0,2,0)$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD$. El centro del paralelogramo es $E(0,0,1)$.

a) Calcular las coordenadas de los otros vértices. [1 punto]

b) Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. [1 punto]

c) Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices $ABEO$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcular las coordenadas de los otros vértices. [1 punto]}$

En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio, y ese punto de corte es el centro. Como $A$ y $B$ son vértices consecutivos, las diagonales del paralelogramo $ABCD$ son $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$, y $E$ es el punto medio de las dos.



$E=\dfrac{A+C}{2} \Rightarrow C=2E-A=(0,0,2)-(1,1,1)=(-1,-1,1)$

$E=\dfrac{B+D}{2} \Rightarrow D=2E-B=(0,0,2)-(0,2,0)=(0,-2,2)$

Comprobamos que efectivamente es un paralelogramo, viendo que los lados opuestos son vectores iguales:

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)=\overrightarrow{DC}=(-1,-1,1)-(0,-2,2)$

Los vértices que faltan son $C(-1,-1,1)$ y $D(0,-2,2)$.

$\textbf{b) Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. [1 punto]}$

El plano queda determinado por el punto $A$ y dos de los lados que concurren en él, que son vectores linealmente independientes.

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)\qquad \overrightarrow{AD}=(0,-2,2)-(1,1,1)=(-1,-3,1)$

Un vector normal es el producto vectorial de ambos:

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 1 \end{vmatrix}=(-2,\,2,\,4)$

Podemos simplificarlo dividiendo entre $-2$, ya que solo importa su dirección: $\vec n=(1,-1,-2)$.

$\pi\equiv x-y-2z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,1,1)$:

$1-1-2+D=0 \Rightarrow D=2$

$\pi\equiv x-y-2z+2=0$

Se comprueba que los otros tres vértices y el centro lo cumplen: $B$ da $0-2-0+2=0$, $C$ da $-1+1-2+2=0$ y $D$ da $0+2-4+2=0$.

$\textbf{c) Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices } \boldsymbol{ABEO}\textbf{, siendo } \boldsymbol{O(0,0,0)}\textbf{ el origen de coordenadas. [0,5 puntos]}$

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que concurran en un vértice. Tomamos como vértice el origen.

$\overrightarrow{OA}=(1,1,1)\qquad \overrightarrow{OB}=(0,2,0)\qquad \overrightarrow{OE}=(0,0,1)$

$\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}\right]=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot(2\cdot 1-0)=2$

$V=\dfrac{1}{6}\left|2\right|=\dfrac{1}{3}$

El producto mixto no es nulo, lo que confirma que el origen no está en el plano del paralelogramo y que el tetraedro no es degenerado.

El volumen del tetraedro $ABEO$ es $\dfrac{1}{3}$ unidades de volumen.