Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dado el plano $\pi \equiv x + y = 0$, el punto $A(1,-1,0)$ y la recta $s \equiv x = y = z$, hallar la recta $r$, en su forma paramétrica, que pasa por $A$, está contenida en $\pi$ y corta a la recta $s$. [2,5 puntos]

$\textbf{Dado el plano } \boldsymbol{\pi \equiv x + y = 0}\textbf{, el punto } \boldsymbol{A(1,-1,0)}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{s \equiv x = y = z}\textbf{, hallar la recta } \boldsymbol{r}\textbf{, en su forma paramétrica, que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{, está contenida en } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y corta a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{. [2,5 puntos]}$

La clave es que las tres condiciones no dejan ninguna libertad: si $r$ está contenida en $\pi$ y corta a $s$, el punto de corte pertenece a la vez a $s$ y a $\pi$. Basta, pues, con localizar $s\cap\pi$ y unirlo con $A$.

Empezamos comprobando que el punto dado está efectivamente en el plano, como exige el enunciado:

$A(1,-1,0)\in\pi:\ 1+(-1)=0$

Escribimos $s$ en paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano:

$s\equiv\begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

$t+t=0 \Rightarrow 2t=0 \Rightarrow t=0$

$s\cap\pi=\{O(0,0,0)\}$

La recta $s$ atraviesa el plano en un único punto, el origen, luego ese es obligatoriamente el punto en que $r$ corta a $s$.



La recta buscada es la que pasa por $A$ y por $O$, y su vector director es

$\vec v_r=\overrightarrow{AO}=(0,0,0)-(1,-1,0)=(-1,1,0)$

$r\equiv\begin{cases} x=1-\lambda \\ y=-1+\lambda \\ z=0 \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos las tres condiciones. Pasa por $A$ para $\lambda=0$; corta a $s$ en el origen, que se alcanza con $\lambda=1$; y está contenida en $\pi$, porque cualquiera de sus puntos lo cumple:

$x+y=(1-\lambda)+(-1+\lambda)=0$

La recta pedida es $r\equiv (1-\lambda,\,-1+\lambda,\,0)$, con $\lambda\in\mathbb{R}$, y es única. Obsérvese además que resulta ser perpendicular a $s$, ya que $(-1,1,0)\cdot(1,1,1)=0$.