Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Considere la función $f(x) = x\ln(x)$, con $x > 0$.

a) Calcular la derivada de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcular una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcular el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX (abscisas) y las dos rectas $x = 1$ y $x = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular la derivada de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Se trata de un producto, así que aplicamos la regla correspondiente.

$f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln(x)+1$

La derivada es $f'(x)=\ln(x)+1$, definida también para $x>0$.

$\textbf{b) Calcular una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Integramos por partes, eligiendo como $u$ el logaritmo, que es lo que se simplifica al derivar.

$\begin{cases} u=\ln(x) & du=\dfrac{1}{x}\,dx \\ dv=x\,dx & v=\dfrac{x^{2}}{2} \end{cases}$

$\int x\ln(x)\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln(x)-\int\dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln(x)-\int\dfrac{x}{2}\,dx$

$\int x\ln(x)\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln(x)-\dfrac{x^{2}}{4}+C$

Una primitiva es $F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}\ln(x)-\dfrac{x^{2}}{4}$, y se comprueba derivándola: $F'(x)=x\ln(x)+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}=x\ln(x)$.

$\textbf{c) Calcular el área del recinto limitado por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje OX (abscisas) y las dos rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de integrar hay que saber si la curva corta al eje dentro del intervalo, porque en ese caso habría que partir la integral. En $[1,2]$ se tiene $x>0$ y $\ln(x)\geq 0$, luego $f(x)\geq 0$ y el recinto queda entero por encima del eje: el área es directamente la integral definida.



$\mathcal{A}=\int_{1}^{2}x\ln(x)\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\ln(x)-\dfrac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{2}$

$=\left(2\ln 2-1\right)-\left(0-\dfrac{1}{4}\right)$

$\mathcal{A}=2\ln 2-\dfrac{3}{4}\approx 0{,}636$

El área del recinto es $2\ln 2-\dfrac{3}{4}\approx 0{,}636$ unidades de área.