Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Sea la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{4(x+1)}{(4+x^{2})^{2}}, & \text{si } x < 0, \\[2mm] \dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} + \dfrac{x}{4}, & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$

a) Estudiar las asíntotas de $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudiar las asíntotas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Antes de nada conviene ver que la función está definida en todo $\mathbb{R}$: los dos denominadores, $(4+x^{2})^{2}$ y $(1+e^{x})^{2}$, son estrictamente positivos. Además es continua en el punto de empalme, porque los dos trozos coinciden allí:

$\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{4(x+1)}{(4+x^{2})^{2}}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\qquad f(0)=\dfrac{1}{(1+1)^{2}}+0=\dfrac{1}{4}$

No hay, por tanto, ninguna asíntota vertical. Solo queda estudiar las ramas infinitas, y en cada una manda un trozo distinto.

Cuando $x\to -\infty$ actúa el primer trozo, un cociente en el que el denominador es de grado $4$ y el numerador de grado $1$:

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{4(x+1)}{(4+x^{2})^{2}}=0$

luego $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda.

Cuando $x\to +\infty$ actúa el segundo trozo. El sumando $\dfrac{x}{4}$ tiende a infinito, así que no puede haber asíntota horizontal; buscamos una oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{e^{x}}{x\left(1+e^{x}\right)^{2}}+\dfrac{1}{4}\right)=0+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$

El primer sumando se anula porque, al desarrollar el cuadrado del denominador, $\dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\approx\dfrac{e^{x}}{e^{2x}}=e^{-x}\to 0$.

$n=\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-\dfrac{x}{4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}=0$

La función tiene, pues, una asíntota horizontal $y=0$ cuando $x\to -\infty$ y una asíntota oblicua $y=\dfrac{x}{4}$ cuando $x\to +\infty$. No hay asíntotas verticales.

$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

Todo el intervalo de integración está en $x\geq 0$, de modo que solo interviene el segundo trozo, y lo separamos en dos integrales inmediatas.

$\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\,dx+\int_{0}^{1}\dfrac{x}{4}\,dx$

La primera se resuelve con el cambio $t=1+e^{x}$, cuya diferencial es justamente el numerador:

$\begin{cases} t=1+e^{x} \\ dt=e^{x}\,dx \end{cases}\Rightarrow \int\dfrac{dt}{t^{2}}=-\dfrac{1}{t}=-\dfrac{1}{1+e^{x}}$

$\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{1}{1+e^{x}}\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1}{1+e}+\dfrac{1}{2}$

$\int_{0}^{1}\dfrac{x}{4}\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{8}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{8}$

Sumando ambas:

$\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{1+e}=\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{1+e}\approx 0{,}356$

El valor de la integral es $\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{1+e}\approx 0{,}356$.