Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dados el plano $\pi_1 \equiv 2x - 3y + z = a$ y el plano $\pi_2$ determinado por el punto $P(0,2,4)$ y los vectores directores $\vec{v}_1 = (0,2,6)$ y $\vec{v}_2 = (1,0,b)$, se pide:

a) Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos y distintos. [0,75 puntos]

b) Para $a = 1$ y $b = 0$ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. [0,75 puntos]

c) Para $a = 4$ y $b = -2$ determinar los puntos que están a igual distancia de $\pi_1$ y $\pi_2$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{ sean paralelos y distintos. [0,75 puntos]}$

Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales lo son, y distintos cuando ningún punto de uno pertenece al otro. Necesitamos, por tanto, un vector normal de $\pi_2$, que se obtiene como producto vectorial de sus dos vectores directores.

$\vec n_{\pi_2}=\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & b \end{vmatrix}=(2b,\,6,\,-2)$

$\vec n_{\pi_1}=(2,\,-3,\,1)$

Imponemos que sean proporcionales, $\vec n_{\pi_2}=\lambda\,\vec n_{\pi_1}$:

$\dfrac{2b}{2}=\dfrac{6}{-3}=\dfrac{-2}{1}=\lambda \Rightarrow \lambda=-2 \Rightarrow b=-2$

Con $b=-2$ el vector normal es $\vec n_{\pi_2}=(-4,6,-2)=-2\,(2,-3,1)$, y la ecuación de $\pi_2$ se determina imponiendo que pase por $P(0,2,4)$:

$-4\cdot 0+6\cdot 2-2\cdot 4=4 \Rightarrow \pi_2\equiv -4x+6y-2z=4 \Rightarrow \pi_2\equiv 2x-3y+z=-2$

Los dos planos tienen ya la misma parte lineal, así que serán distintos siempre que los términos independientes no coincidan.

Los planos son paralelos y distintos si $b=-2$ y $a\neq -2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{b = 0}\textbf{ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Con $b=0$ el vector normal de $\pi_2$ pasa a ser $(0,6,-2)$, que ya no es proporcional al de $\pi_1$: los planos se cortan en una recta.

$6\cdot 2-2\cdot 4=4 \Rightarrow \pi_2\equiv 6y-2z=4 \Rightarrow \pi_2\equiv 3y-z=2$

La recta es el conjunto de soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones:

$\begin{cases} 2x-3y+z=1 \\ 3y-z=2 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones desaparecen $y$ y $z$, y queda determinada la primera coordenada:

$2x=3 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y despejamos $z$ de la segunda ecuación:

$z=3\lambda-2$

$r\equiv\begin{cases} x=\dfrac{3}{2} \\ y=\lambda \\ z=-2+3\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

La recta intersección pasa por $\left(\dfrac{3}{2},0,-2\right)$ y tiene como vector director $(0,1,3)$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a = 4}\textbf{ y } \boldsymbol{b = -2}\textbf{ determinar los puntos que están a igual distancia de } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{. [1 punto]}$

Con estos valores estamos en el caso del apartado a): los dos planos son paralelos y distintos.

$\pi_1\equiv 2x-3y+z=4 \qquad \pi_2\equiv 2x-3y+z=-2$

Imponemos la igualdad de distancias a un punto genérico $X(x,y,z)$. Como los dos planos comparten normal, los denominadores son iguales y se cancelan:

$\dfrac{|2x-3y+z-4|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}}=\dfrac{|2x-3y+z+2|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}}$

$|2x-3y+z-4|=|2x-3y+z+2|$

Llamando $t=2x-3y+z$, la igualdad $|t-4|=|t+2|$ solo puede darse con signos opuestos, ya que $t-4=t+2$ es imposible:

$t-4=-(t+2) \Rightarrow 2t=2 \Rightarrow t=1$

Los puntos buscados son los del plano paralelo a ambos que pasa por el punto medio, situado a

$d=\dfrac{|4-1|}{\sqrt{14}}=\dfrac{3}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\ \text{u}$

de cada uno de ellos.



Los puntos que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$ son los del plano $\pi\equiv 2x-3y+z=1$.