Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{1+e^{x}}$, determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Justificar la existencia o no de extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx$. [1 punto]

$\textbf{a) Dada la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{1}{1+e^{x}}}\textbf{, determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Justificar la existencia o no de extremos relativos. [1,5 puntos]}$

El denominador $1+e^{x}$ es suma de $1$ y de una exponencial, que es siempre positiva, luego no se anula nunca.

$1+e^{x}>1>0\quad \text{para todo } x\in\mathbb{R} \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}$

Derivamos para estudiar la monotonía:

$f'(x)=\dfrac{-e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, y el numerador es siempre negativo, de modo que $f'(x)<0$ en todo el dominio: la función es estrictamente decreciente en $\mathbb{R}$.

Como $f'(x)$ no se anula en ningún punto, no hay puntos críticos y, en consecuencia, la función no tiene extremos relativos.

Al ser el dominio todo $\mathbb{R}$ y ser $f$ continua, no hay asíntotas verticales. Estudiamos el comportamiento en el infinito:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{1+e^{x}}=\dfrac{1}{1+\infty}=0$

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{1+e^{x}}=\dfrac{1}{1+0}=1$

Hay, pues, dos asíntotas horizontales: $y=0$ cuando $x\to +\infty$ e $y=1$ cuando $x\to -\infty$. Al existir asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber asíntotas oblicuas.

La función decrece, pues, de $1$ a $0$ sin alcanzar ninguno de los dos valores, pasando por $f(0)=\dfrac{1}{2}$.



$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx}\textbf{. [1 punto]}$

El integrando es del tipo $u\cdot u'$ tomando $u=\operatorname{sen}(x)$, así que resolvemos con un cambio de variable.

$\begin{cases} t=\operatorname{sen}(x) \\ dt=\cos(x)\,dx \end{cases}\qquad \begin{cases} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=1 \end{cases}$

$\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx=\int_{0}^{1}t\,dt=\left[\dfrac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}$

El valor de la integral es $\dfrac{1}{2}$.