Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

a) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{3}-5}{\sqrt{x}}\,dx$. [1,25 puntos]

b) Probar que la función $f(x) = 2 - e^{x}$ posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{3}-5}{\sqrt{x}}\,dx}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El integrando no es una función racional, pero se convierte en una suma de potencias de $x$ sin más que repartir el denominador.

$\dfrac{x^{3}-5}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^{3}}{x^{1/2}}-\dfrac{5}{x^{1/2}}=x^{5/2}-5x^{-1/2}$

Calculamos una primitiva integrando cada potencia por separado:

$\int\left(x^{5/2}-5x^{-1/2}\right)dx=\dfrac{x^{7/2}}{7/2}-5\cdot\dfrac{x^{1/2}}{1/2}=\dfrac{2}{7}x^{7/2}-10\sqrt{x}$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-5}{\sqrt{x}}\,dx=\left[\dfrac{2}{7}x^{7/2}-10\sqrt{x}\right]_{0}^{1}=\left(\dfrac{2}{7}-10\right)-(0-0)=-\dfrac{68}{7}$

Obsérvese que el integrando no está acotado en $x=0$, pero la primitiva sí es continua en $x=0$ y vale $0$, de modo que la integral es convergente y el valor obtenido es correcto.

El valor de la integral es $-\dfrac{68}{7}\approx -9{,}714$.

$\textbf{b) Probar que la función } \boldsymbol{f(x) = 2 - e^{x}}\textbf{ posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga. [1,25 puntos]}$

Hay que probar dos cosas: que existe al menos una raíz y que no puede haber dos. La primera es consecuencia del teorema de Bolzano y la segunda, de la monotonía.

$f(x)=2-e^{x}$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, por ser diferencia de una constante y una exponencial.

$f'(x)=-e^{x}<0\quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}$

Al ser la derivada negativa en todo punto, $f$ es estrictamente decreciente en $\mathbb{R}$ y por tanto inyectiva: no puede tomar el valor $0$ dos veces. A lo sumo hay una raíz.

Buscamos ahora un intervalo en cuyos extremos $f$ cambie de signo:

$f(0)=2-e^{0}=2-1=1>0$

$f(1)=2-e\approx -0{,}718<0$

Como $f$ es continua en $[0,1]$ y $f(0)\cdot f(1)<0$, el teorema de Bolzano garantiza que existe $c\in(0,1)$ con $f(c)=0$.

Uniendo las dos conclusiones, $f$ tiene exactamente una raíz real y está en el intervalo $(0,1)$. De hecho, despejando, $2-e^{x}=0\Rightarrow x=\ln 2\approx 0{,}693$.