Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} (m-10)x - 2y - z = -1 \\ 7x + (m+2)y + 2z = m+1 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}$, donde $m \in \mathbb{R}$.

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m = 3$. [1 punto]

$\textbf{a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, así que lo discutimos con el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} m-10 & -2 & -1 \\ 7 & m+2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} m-10 & -2 & -1 & -1 \\ 7 & m+2 & 2 & m+1 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la primera fila.

$|A|=(m-10)\begin{vmatrix} m+2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 7 & m+2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}$

$|A|=(m-10)(m-2)+2(-3)-(4-5m)=m^{2}-7m+10$

$|A|=0\Rightarrow (m-2)(m-5)=0\Rightarrow \begin{cases} m=2 \\ m=5 \end{cases}$

Si $m\neq 2$ y $m\neq 5$, entonces $|A|\neq 0$ y, como la ampliada tiene a lo sumo rango 3, se cumple

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

y el sistema es compatible determinado.

Para $m=2$ la matriz ampliada queda

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} -8 & -2 & -1 & -1 \\ 7 & 4 & 2 & 3 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

$\begin{vmatrix} -8 & -2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix}=-32+14=-18\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} -8 & -2 & -1 \\ 7 & 4 & 3 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}=-32-30-14+20+48+14=6\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^{*}) \Rightarrow$ el sistema es incompatible.

Para $m=5$ la matriz ampliada queda

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c} -5 & -2 & -1 & -1 \\ 7 & 7 & 2 & 6 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Aquí no hace falta orlar ningún menor, porque la primera fila es la tercera cambiada de signo:

$F_1=-F_3 \Rightarrow$ la primera ecuación y la tercera son la misma, y el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes.

$\begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 7 & 7 \end{vmatrix}=-35+14=-21\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas} \Rightarrow$ el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $m\neq 2$ y $m\neq 5$, incompatible si $m=2$ y compatible indeterminado si $m=5$.

$\textbf{b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para } \boldsymbol{m = 3}\textbf{. [1 punto]}$

Como $m=3$ no es ninguno de los dos valores críticos, $|A|=(3-2)(3-5)=-2\neq 0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases} -7x-2y-z=-1 \\ 7x+5y+2z=4 \\ 5x+2y+z=1 \end{cases}$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 4 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{0}{-2}=0$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} -7 & -1 & -1 \\ 7 & 4 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{-4}{-2}=2$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} -7 & -2 & -1 \\ 7 & 5 & 4 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{6}{-2}=-3$

La solución para $m=3$ es única y vale $x=0$, $y=2$, $z=-3$.