Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2020

A) Ondas armónicas. Ecuación y explicar cada término indicando sus unidades (1 punto)

B) Una onda transversal se propaga por una cuerda sobre el eje OX según la ecuación $y(x,t) = 6\operatorname{sen}[2\pi(100t - 0{,}5x)]\ (S.I.)$

a) Hallar la velocidad de propagación y la máxima velocidad de vibración (1 punto)
b) Distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (0,5 puntos)

$\textbf{A) Ondas armónicas. Ecuación y explicar cada término indicando sus unidades (1 punto)}$



Una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje X se describe con:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

Si avanza en sentido contrario, los dos términos aparecen sumados.

Cada término significa lo siguiente:

- $y$, la $\textbf{elongación}$: la separación del punto respecto de su equilibrio, en metros.
- $A$, la $\textbf{amplitud}$: la elongación máxima, en metros.
- $\omega=2\pi/T$, la $\textbf{frecuencia angular}$, en $\text{rad/s}$.
- $k=2\pi/\lambda$, el $\textbf{número de onda}$, en $\text{rad/m}$.
- $\varphi_0$, la $\textbf{fase inicial}$, en radianes.

La doble periodicidad, en el tiempo y en el espacio, es lo que caracteriza a una onda, y de ella salen las relaciones $v=\omega/k=\lambda f$.

$\textbf{a) Hallar la velocidad de propagación y la máxima velocidad de vibración (1 punto)}$

Se desarrolla el paréntesis para identificar los términos:

$y(x,t)=6\operatorname{sen}\left[2\pi(100\,t-0{,}5\,x)\right]=6\operatorname{sen}(200\pi\,t-\pi\,x)$

$\omega=200\pi\ \text{rad/s}\qquad k=\pi\ \text{rad/m}\qquad A=6\ \text{m}$

La velocidad de propagación es:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{200\pi}{\pi}=200\ \text{m/s}$

Y la velocidad máxima de vibración de cada punto, que es la de su movimiento armónico simple:

$v_{\max}=A\,\omega=6\cdot200\pi=3{,}77\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Conviene subrayar la diferencia: la onda avanza a $200\ \text{m/s}$, pero cada punto de la cuerda llega a moverse, transversalmente, casi veinte veces más deprisa.

$\textbf{b) Distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (0,5 puntos)}$

Dos puntos vibran en fase cuando su diferencia de fase es un múltiplo entero de $2\pi$:

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=2\pi\,n$

La distancia mínima corresponde a $n=1$:

$\Delta x=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2\ \text{m}$

Es, por definición, la longitud de onda: $\lambda=2\ \text{m}$.