Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Navarra · 2020

A) Interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico. (1,5 puntos)

B) El trabajo de extracción para el sodio es de 2,5 eV. Calcule:

a) Longitud de onda umbral para el sodio. (0,5 puntos)
b) Velocidad máxima a la que saldrán los electrones si iluminamos el sodio con una radiación de azul de 360 nm (0,5 puntos)

Datos: $m_{e} = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ C$; $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ J$; $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ J\cdot s$; $c = 3\cdot 10^{8}\ m/s$

$\textbf{A) Interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico. (1,5 puntos)}$



El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones por un metal iluminado. La física clásica no podía explicar tres de sus rasgos: la existencia de una frecuencia umbral, que la energía de los electrones no dependa de la intensidad de la luz y que la emisión sea instantánea.

Einstein lo resolvió en 1905 extendiendo la hipótesis de Planck: la luz no solo se emite en cuantos, sino que $\textbf{está formada por ellos}$. Cada cuanto de luz, o fotón, transporta una energía:

$E=h\,f$

y en el proceso fotoeléctrico un fotón interacciona con $\textbf{un solo electrón}$ y le entrega toda su energía. Parte de ella se invierte en arrancarlo del metal, el trabajo de extracción, y el resto queda como energía cinética:

$h\,f=W_0+E_{c,\max}$

Esta única ecuación explica los tres hechos: si $h\,f<W_0$ no hay emisión por intensa que sea la luz, lo que define la frecuencia umbral $f_0=W_0/h$; la energía cinética depende solo de la frecuencia, y aumentar la intensidad únicamente aumenta el número de fotones y, por tanto, el de electrones emitidos; y como la interacción es entre dos partículas, es instantánea, sin necesidad de que el electrón acumule energía.

$\textbf{a) Longitud de onda umbral para el sodio. (0,5 puntos)}$

Se pasa el trabajo de extracción a julios:

$W_0=2{,}5\ \text{eV}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=4\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La longitud de onda umbral es la del fotón cuya energía es exactamente ese trabajo:

$\lambda_0=\dfrac{h\,c}{W_0}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{4\cdot10^{-19}}$

$\lambda_0=4{,}97\cdot10^{-7}\ \text{m}=497\ \text{nm}$

Está en el visible, en el verde-azulado: por eso el sodio es fotoeléctricamente activo con luz ordinaria.

$\textbf{b) Velocidad máxima a la que saldrán los electrones si iluminamos el sodio con una radiación de azul de 360 nm (0,5 puntos)}$

La energía del fotón incidente es:

$E=\dfrac{h\,c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{360\cdot10^{-9}}=5{,}53\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$E_{c,\max}=E-W_0=5{,}53\cdot10^{-19}-4\cdot10^{-19}=1{,}53\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y de la energía cinética se despeja la velocidad:

$\dfrac12\,m\,v^2=E_{c,\max}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}53\cdot10^{-19}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=5{,}79\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Los electrones salen con hasta $5{,}79\cdot10^{5}\ \text{m/s}$, algo menos del 0,2 % de la velocidad de la luz, de modo que no hace falta corrección relativista.