Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2020

(A) Intensidad sonora. Definición y unidades. Umbral de audición y umbral de dolor. (1 punto)

(B) Un sonido (1) tiene un nivel de intensidad de 3 dB y otro sonido (2) de 9 dB en un mismo punto.

(a) Hallar la relación de las intensidades de las dos ondas sonoras. (0,5 puntos)
(b) Hallar la relación de las potencias sonoras, emitidas si el sonido 1 es emitido desde una distancia de 5 m y el sonido 2 desde 10 m (1 punto)

Dato: $I_{o} = 1{,}0\cdot 10^{-12}\ W\,m^{-2}$

$\textbf{(A) Intensidad sonora. Definición y unidades. Umbral de audición y umbral de dolor. (1 punto)}$



La intensidad sonora en un punto es la energía que la onda transporta por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie perpendicular a la propagación:

$I=\dfrac{P}{S}=\dfrac{P}{4\pi r^2}$

en $\text{W}\,\text{m}^{-2}$. La última expresión vale para un foco puntual.

El $\textbf{umbral de audición}$ es la intensidad mínima que el oído humano puede detectar, y se toma como referencia:

$I_0=10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}$

El $\textbf{umbral de dolor}$ es la intensidad a partir de la cual el sonido resulta doloroso y daña el oído:

$I=1\ \text{W}\,\text{m}^{-2}$

Entre uno y otro hay doce órdenes de magnitud, y por eso se usa la escala logarítmica del nivel de intensidad sonora, $\beta=10\log(I/I_0)$, en la que el umbral de audición son 0 dB y el de dolor, 120 dB.

$\textbf{(a) Hallar la relación de las intensidades de las dos ondas sonoras. (0,5 puntos)}$

De la definición del nivel se despeja cada intensidad:

$I_1=I_0\cdot10^{3/10}\qquad I_2=I_0\cdot10^{9/10}$

Y su cociente no depende del umbral:

$\dfrac{I_2}{I_1}=10^{(9-3)/10}=10^{0{,}6}$

$\dfrac{I_2}{I_1}=3{,}98$

El segundo sonido es casi cuatro veces más intenso que el primero, aunque su nivel solo sea el triple en decibelios: esa es justamente la razón de ser de la escala logarítmica.

$\textbf{(b) Hallar la relación de las potencias sonoras, emitidas si el sonido 1 es emitido desde una distancia de 5 m y el sonido 2 desde 10 m (1 punto)}$

Suponiendo focos puntuales, la potencia se relaciona con la intensidad en el punto de medida:

$P=I\cdot4\pi r^2$

$\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{I_2\,r_2^2}{I_1\,r_1^2}=3{,}98\cdot\dfrac{10^2}{5^2}=3{,}98\cdot4$

$\dfrac{P_2}{P_1}=15{,}9$

El segundo foco emite casi dieciséis veces más potencia que el primero: cuatro veces más porque llega con más intensidad y otras cuatro porque lo hace desde el doble de distancia.