Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2020

Una onda transversal, en unidades del sistema internacional, se propaga en un medio según la ecuación: $y = 0{,}5\cos(10t - 0{,}2x)$ Hallar:

(a) Longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación (0,5 puntos)
(b) Tiempo que tarda la onda en recorrer 20 m. (1 punto)
(c) Velocidad de oscilación de una partícula situada en $x = 20\ m$ en el instante $t = 0{,}5$ s. (0,5 puntos)
(d) Aceleración de una partícula situada en $x = 20\ m$ en el instante $t = 0{,}5$ s. (0,5 puntos)

$\textbf{(a) Longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación (0,5 puntos)}$



Se identifican los términos de la ecuación dada con los de la ecuación general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\cos(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

$\omega=10\ \text{rad/s}\qquad k=0{,}2\ \text{rad/m}$

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{0{,}2}=31{,}4\ \text{m}$

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{10}{2\pi}=1{,}59\ \text{Hz}$

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{10}{0{,}2}=50\ \text{m/s}$

$\textbf{(b) Tiempo que tarda la onda en recorrer 20 m. (1 punto)}$

La onda avanza con velocidad constante, así que basta con la definición de velocidad:

$v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow \Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{20}{50}$

$\Delta t=0{,}4\ \text{s}$

$\textbf{(c) Velocidad de oscilación de una partícula situada en } \boldsymbol{x = 20\ m}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 0{,}5}\textbf{ s. (0,5 puntos)}$

La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-0{,}5\cdot10\operatorname{sen}(10\,t-0{,}2\,x)$

Se calcula la fase en ese punto y ese instante:

$\varphi=10\cdot0{,}5-0{,}2\cdot20=5-4=1\ \text{rad}$

$v_y=-5\operatorname{sen}(1)=-4{,}21\ \text{m/s}$

$\textbf{(d) Aceleración de una partícula situada en } \boldsymbol{x = 20\ m}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 0{,}5}\textbf{ s. (0,5 puntos)}$

En un movimiento armónico simple la aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario:

$a_y=\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2}=-\omega^2\,y=-10^2\cdot0{,}5\cos(1)$

$a_y=-27{,}0\ \text{m/s}^2$

En ese instante la partícula está por encima de su posición de equilibrio, bajando a $4{,}21\ \text{m/s}$ y con una aceleración de $27{,}0\ \text{m/s}^2$ dirigida hacia el equilibrio.