Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Navarra · 2020

Una partícula de carga $-3{,}2\cdot 10^{-19}\ C$ se sitúa en el origen del eje X. En la posición $x = 1\ m$, se coloca otra partícula de carga $1{,}6\cdot 10^{-19}\ C$. Calcular:

(a) En qué puntos de eje X (positivo) se anula el potencial eléctrico (0,75 puntos)
(b) Valor del campo eléctrico en el punto medio de la línea de unión de ambas cargas (0,75 puntos)
(c) En qué puntos del eje X (positivo) se anula el campo eléctrico. (1 punto)

Dato: $K = 9\cdot 10^{9}\ Nm^{2}/C^{2}$

$\textbf{(a) En qué puntos de eje X (positivo) se anula el potencial eléctrico (0,75 puntos)}$



El potencial es escalar y se anula donde las contribuciones de las dos cargas se cancelan:

$V=K\dfrac{q_1}{x}+K\dfrac{q_2}{|x-1|}=0$

Como las dos cargas tienen signos contrarios, hay puntos donde eso ocurre.

$\textbf{Entre las cargas}$, con $0<x<1$, es $|x-1|=1-x$:

$-\dfrac{3{,}2}{x}+\dfrac{1{,}6}{1-x}=0\Rightarrow 1{,}6\,x=3{,}2\,(1-x)$

$x=\dfrac{2}{3}=0{,}667\ \text{m}$

$\textbf{A la derecha de la segunda carga}$, con $x>1$, es $|x-1|=x-1$:

$-\dfrac{3{,}2}{x}+\dfrac{1{,}6}{x-1}=0\Rightarrow 1{,}6\,x=3{,}2\,(x-1)$

$x=2\ \text{m}$

El potencial se anula en dos puntos del semieje positivo: $x=0{,}667\ \text{m}$ y $x=2\ \text{m}$.

$\textbf{(b) Valor del campo eléctrico en el punto medio de la línea de unión de ambas cargas (0,75 puntos)}$

El punto medio está a 0,5 m de cada carga:

$E_1=K\dfrac{|q_1|}{r^2}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot3{,}2\cdot10^{-19}}{0{,}5^2}=1{,}15\cdot10^{-8}\ \text{N/C}$

$E_2=K\dfrac{|q_2|}{r^2}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{0{,}5^2}=5{,}76\cdot10^{-9}\ \text{N/C}$

La primera carga es negativa, así que su campo apunta hacia ella, es decir, hacia el origen; la segunda es positiva y su campo se aleja de ella, también hacia el origen. Los dos van en el mismo sentido y se suman:

$\vec E=-\left(1{,}15\cdot10^{-8}+5{,}76\cdot10^{-9}\right)\vec\imath$

$\vec E=-1{,}73\cdot10^{-8}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

El campo en el punto medio vale $1{,}73\cdot10^{-8}\ \text{N/C}$ y apunta en el sentido negativo del eje X.

$\textbf{(c) En qué puntos del eje X (positivo) se anula el campo eléctrico. (1 punto)}$

Como acaba de verse, entre las dos cargas los campos se suman y no pueden cancelarse. Tampoco a la izquierda del origen, por la misma razón con los sentidos cambiados. Solo pueden anularse $\textbf{a la derecha de la carga positiva}$, que es la menor en valor absoluto: allí el campo de $q_1$ apunta hacia el origen y el de $q_2$ en sentido contrario.

Se igualan los módulos con $x>1$:

$\dfrac{3{,}2}{x^2}=\dfrac{1{,}6}{(x-1)^2}\Rightarrow 2\,(x-1)^2=x^2$

$\sqrt2\,(x-1)=x\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2-1}$

$x=3{,}41\ \text{m}$

La otra raíz, $x=0{,}586\ \text{m}$, hay que descartarla: cae entre las dos cargas, donde ya se ha visto que los campos se suman y no pueden anularse. Aparece porque al elevar al cuadrado se pierde la información del sentido.

El campo eléctrico se anula únicamente en $x=3{,}41\ \text{m}$.