Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Navarra · 2020

Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes. Carga moviéndose perpendicularmente al campo. Cálculo del radio y período de la órbita. Carga moviéndose con un cierto ángulo respecto al campo (2,5 puntos)

$\textbf{Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes. Carga moviéndose perpendicularmente al campo. Cálculo del radio y período de la órbita. Carga moviéndose con un cierto ángulo respecto al campo (2,5 puntos)}$










Sobre una carga que se mueve dentro de un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\,(\vec v\times\vec B)$

Al ser un producto vectorial, la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, y de ahí se sigue todo lo demás.





En particular, su trabajo es nulo: la fuerza magnética no puede cambiar el módulo de la velocidad ni la energía cinética de la partícula, solo curvar su trayectoria.

$\textbf{Carga perpendicular al campo}$

Si $\vec v\perp\vec B$, el módulo de la fuerza es constante:

$F=|q|\,v\,B$

y siempre perpendicular a la velocidad: es exactamente una fuerza centrípeta, así que la trayectoria es una circunferencia. Igualando con la expresión de la fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

El radio crece con la cantidad de movimiento de la partícula y disminuye con la carga y con el campo. El periodo se obtiene de la longitud de la circunferencia:

$T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi\,m}{|q|\,B}$

y resulta $\textbf{independiente de la velocidad}$: todas las partículas iguales tardan lo mismo en dar una vuelta, vayan deprisa o despacio. Es el principio del ciclotrón.

$\textbf{Carga con un ángulo cualquiera}$

Si la velocidad forma un ángulo $\theta$ con el campo, se descompone en dos:

$v_\parallel=v\cos\theta\qquad v_\perp=v\operatorname{sen}\theta$

La componente paralela no produce fuerza, porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo, y se conserva: da un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección del campo. La componente perpendicular produce el movimiento circular anterior, ahora de radio:

$R=\dfrac{m\,v\operatorname{sen}\theta}{|q|\,B}$

La composición de los dos es un movimiento $\textbf{helicoidal}$, con el eje de la hélice paralelo al campo y paso:

$p=v_\parallel\,T=\dfrac{2\pi\,m\,v\cos\theta}{|q|\,B}$

Los dos casos anteriores son los extremos de este: con $\theta=90^\circ$ la hélice se cierra en una circunferencia y con $\theta=0$ se estira en una recta.