Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

(A) Deducción de la velocidad de escape (1 punto)

(B) Sabiendo que Marte (supuesto esférico) tiene un radio $R = 3{,}39\cdot 10^{6}\ m$, y el valor de la gravedad en su superficie es $g = 3{,}71\ \text{m/s}^{2}$.

(a) Hallar la velocidad de escape desde la superficie. (0,5 puntos)
(b) ¿Qué altura, desde la superficie, alcanzará un objeto si se lanza con la mitad de la velocidad de escape? (1 punto)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,N\,m^{2}/kg^{2}$

$\textbf{(A) Deducción de la velocidad de escape (1 punto)}$










La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie de un planeta para que se aleje indefinidamente, es decir, para que llegue al infinito con velocidad nula.





El campo gravitatorio es conservativo, así que la energía mecánica se conserva entre la superficie y el infinito:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2-G\dfrac{M\,m}{R}=E_c(\infty)+E_p(\infty)=0$

La masa del cuerpo se simplifica, de modo que la velocidad de escape no depende de ella:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

Y si en lugar de la masa del planeta se conoce la gravedad en su superficie, basta con sustituir $G\,M=g\,R^2$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\,g\,R}$

$\textbf{(a) Hallar la velocidad de escape desde la superficie. (0,5 puntos)}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\cdot3{,}71\cdot3{,}39\cdot10^{6}}=5{,}02\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie de Marte es de $5{,}02\ \text{km/s}$, poco más de la tercera parte de la terrestre.

$\textbf{(b) ¿Qué altura, desde la superficie, alcanzará un objeto si se lanza con la mitad de la velocidad de escape? (1 punto)}$

Con la mitad de la velocidad de escape, la energía cinética inicial es la cuarta parte:

$\dfrac12\,v_0^2=\dfrac12\left(\dfrac{v_{\text{esc}}}{2}\right)^2=\dfrac{v_{\text{esc}}^2}{8}=\dfrac{2\,g\,R}{8}=\dfrac{g\,R}{4}$

Se aplica la conservación de la energía entre la superficie y el punto más alto, donde la velocidad se anula, y se usa $G\,M=g\,R^2$:

$\dfrac{g\,R}{4}-g\,R=-\dfrac{g\,R^2}{R+h}$

$\dfrac{g\,R^2}{R+h}=\dfrac{3}{4}\,g\,R\Rightarrow R+h=\dfrac{4}{3}\,R$

$h=\dfrac{R}{3}=\dfrac{3{,}39\cdot10^{6}}{3}=1{,}13\cdot10^{6}\ \text{m}$

El objeto sube $1{,}13\cdot10^{6}\ \text{m}$, es decir, $1.130\ \text{km}$: exactamente un tercio del radio de Marte. Obsérvese que no valdría la aproximación $h=v_0^2/2g$, que daría 845 km, porque a esa altura la gravedad ya ha bajado bastante.