Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre. (2,5 puntos)

$\textbf{Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre. (2,5 puntos)}$










La Tierra crea a su alrededor un campo gravitatorio cuya intensidad en un punto es la fuerza que ejerce sobre la unidad de masa colocada en él:

$\vec g=\dfrac{\vec F}{m}=-G\dfrac{M_T}{r^2}\,\vec u_r$





El signo menos indica que el campo apunta siempre hacia el centro de la Tierra: la interacción gravitatoria es exclusivamente atractiva. Se mide en $\text{N/kg}$, unidad equivalente a $\text{m/s}^2$, y en la superficie vale:

$g_0=G\dfrac{M_T}{R_T^2}=9{,}8\ \text{m/s}^2$

El campo es central y conservativo, de modo que se le puede asociar una energía potencial. Tomando el origen en el infinito:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

$\textbf{Cerca de la superficie}$

Al elevar un cuerpo desde la superficie hasta una altura $h$, la energía potencial varía en:

$\Delta E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T+h}+G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=G\,M_T\,m\,\dfrac{h}{R_T\,(R_T+h)}$

Y si la altura es despreciable frente al radio terrestre, $h\ll R_T$, se puede aproximar $R_T+h\approx R_T$:

$\Delta E_p\approx m\left(G\dfrac{M_T}{R_T^2}\right)h=m\,g_0\,h$

que es la expresión conocida. Sus dos limitaciones conviene tenerlas presentes: solo vale cerca de la superficie, donde $g_0$ puede considerarse constante, y no es una energía potencial absoluta sino una $\textbf{variación}$, ya que implícitamente se ha tomado el origen de potenciales en la superficie y no en el infinito.

Para alturas comparables al radio terrestre —un satélite, una sonda— hay que volver a la expresión general, y de hecho es de ella de donde salen la velocidad de escape y la energía de las órbitas.