Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2021

(A) Indicar la expresión general de la ecuación de ondas armónicas unidimensionales. Explicar cada uno de sus términos e indicar las unidades (1 punto)

(B) Una onda armónica transversal se propaga en el sentido negativo del eje OX con una velocidad de 400 m/s, una frecuencia de 200 Hz y una amplitud de 0,01 m. Sabiendo que en $x = 0$ y $t = 0$, $y = 0{,}01$ m.

a) Hallar la ecuación de onda (0,5 puntos)
b) ¿Cuál es la velocidad en función del tiempo de un punto situado a 2 m del foco? (0,5 puntos)
c) ¿En qué instante alcanza por primera vez la velocidad máxima ese punto? (0,5 puntos)

$\textbf{(A) Indicar la expresión general de la ecuación de ondas armónicas unidimensionales. Explicar cada uno de sus términos e indicar las unidades (1 punto)}$



Una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje X se describe con:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

y si avanza en sentido contrario los dos términos aparecen sumados.

Cada término significa lo siguiente:

- $y$, la $\textbf{elongación}$: la separación del punto respecto de su equilibrio, en metros.
- $A$, la $\textbf{amplitud}$: la elongación máxima, en metros.
- $\omega=2\pi/T$, la $\textbf{frecuencia angular}$, en $\text{rad/s}$: la periodicidad en el tiempo.
- $k=2\pi/\lambda$, el $\textbf{número de onda}$, en $\text{rad/m}$: la periodicidad en el espacio.
- $\varphi_0$, la $\textbf{fase inicial}$, en radianes: fija el estado de vibración del origen en el instante inicial.

Y de ella se leen las relaciones básicas $v=\omega/k=\lambda f$, donde $v$ es la velocidad de propagación, distinta de la velocidad de vibración de cada punto.

$\textbf{a) Hallar la ecuación de onda (0,5 puntos)}$

La onda avanza en el sentido $\textbf{negativo}$ del eje OX, de modo que los dos términos van sumados. Se elige el coseno porque en el origen la elongación inicial es máxima:

$y(x,t)=A\cos(\omega t+k\,x+\varphi_0)$

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{400}{200}=2\ \text{m}$

$\omega=2\pi f=400\pi\ \text{rad/s}\qquad k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\pi\ \text{rad/m}$

$y(0,0)=0{,}01\cos\varphi_0=0{,}01\Rightarrow \varphi_0=0$

$y(x,t)=0{,}01\cos(400\pi\,t+\pi\,x)\ \text{m}$

$\textbf{b) ¿Cuál es la velocidad en función del tiempo de un punto situado a 2 m del foco? (0,5 puntos)}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\operatorname{sen}(\omega t+k\,x)$

En el punto pedido la fase espacial vale $k\,x=\pi\cdot2=2\pi$, que es una vuelta completa y puede suprimirse:

$v_y=-0{,}01\cdot400\pi\operatorname{sen}(400\pi\,t+2\pi)$

$v_y=-12{,}6\operatorname{sen}(400\pi\,t)\ \text{m/s}$

$\textbf{c) ¿En qué instante alcanza por primera vez la velocidad máxima ese punto? (0,5 puntos)}$

La velocidad es máxima en valor absoluto cuando el seno vale $\pm1$, y la primera vez ocurre en:

$400\pi\,t=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=\dfrac{1}{800}$

$t=1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{s}$

El punto alcanza por primera vez su velocidad máxima, $12{,}6\ \text{m/s}$, a los $1{,}25\ \text{ms}$: un cuarto de periodo después del instante inicial, que es lo que tarda en pasar del extremo a la posición de equilibrio.