Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2021

Una onda transversal sinusoidal de 10 cm de amplitud y longitud de onda 200 cm se propaga en sentido positivo del eje X con una velocidad de 100 cm/s. Tomamos como origen la posición $x = 0$. En el instante inicial el origen tiene una elongación $y = 0$ y su velocidad es negativa. Hallar:

a) ecuación de onda (1 punto)
b) máxima velocidad de vibración de cualquier partícula de la cuerda. (0,5 puntos)
c) velocidad y elongación de una partícula situada a 150 cm a la derecha del origen en $t = 3{,}25$ s (1 punto)

$\textbf{a) ecuación de onda (1 punto)}$



Se parte de la ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje X:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

y se pasan antes todos los datos a unidades del Sistema Internacional:

$A=0{,}1\ \text{m}\quad \lambda=2\ \text{m}\quad v=1\ \text{m/s}$

$f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\ \text{Hz}$

$\omega=2\pi f=\pi\ \text{rad/s}\qquad k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\pi\ \text{rad/m}$

La fase inicial sale de las dos condiciones del enunciado. Elongación nula en el origen en $t=0$:

$\operatorname{sen}\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\quad\text{o}\quad \varphi_0=\pi$

Y velocidad negativa en ese instante:

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0<0\Rightarrow \varphi_0=\pi\ \text{rad}$

$y(x,t)=0{,}1\operatorname{sen}(\pi\,t-\pi\,x+\pi)\ \text{m}$

$\textbf{b) máxima velocidad de vibración de cualquier partícula de la cuerda. (0,5 puntos)}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y su valor máximo se alcanza al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max}=A\,\omega=0{,}1\cdot\pi=0{,}314\ \text{m/s}$

Conviene no confundirla con la velocidad de propagación de la onda, que vale 1 m/s: son magnitudes distintas y en este caso ni siquiera coinciden en orden.

$\textbf{c) velocidad y elongación de una partícula situada a 150 cm a la derecha del origen en } \boldsymbol{t = 3{,}25}\textbf{ s (1 punto)}$

Se calcula primero la fase en ese punto y ese instante, con $x=1{,}5\ \text{m}$:

$\varphi=\pi\cdot3{,}25-\pi\cdot1{,}5+\pi=2{,}75\pi\ \text{rad}$

Restando una vuelta completa, $2\pi$, queda $0{,}75\pi$, y con ella:

$y=0{,}1\operatorname{sen}(0{,}75\pi)=7{,}07\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$v_y=A\,\omega\cos\varphi=0{,}1\pi\cos(0{,}75\pi)=-0{,}222\ \text{m/s}$

En ese instante la partícula está $7{,}07\ \text{cm}$ por encima de su posición de equilibrio y bajando a $0{,}222\ \text{m/s}$.