Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Navarra · 2021

Supongamos una carga $q$ fija en el origen de coordenadas. Se lanza desde el infinito con una velocidad de 3000 m/s una partícula de carga negativa $q'$ ($q' = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ C$) y masa $1{,}6\cdot 10^{-27}\ kg$, que se mueve horizontalmente (eje X), hacia la carga $q$. La partícula se para a una distancia de 3 m de la carga $q$. Despreciamos cualquier efecto gravitatorio.



a) Hallar el valor de la carga $q$ (1 punto)
b) Hallar el valor del campo electrostático que crean las dos cargas (una vez que están en reposo) en el punto medio de ambas. (1,5 puntos)

Datos: $K = 9\cdot 10^{9}\ N\cdot m^{2}/C^{2}$

$\textbf{a) Hallar el valor de la carga } \boldsymbol{q}\textbf{ (1 punto)}$



El campo eléctrico es conservativo y no hay más fuerzas, así que la energía mecánica de la partícula se conserva entre el infinito y el punto donde se detiene:

$\dfrac12\,m\,v^2+K\dfrac{q\,q'}{\infty}=0+K\dfrac{q\,q'}{r}$

En el infinito la energía potencial es nula, de modo que toda la energía cinética inicial se convierte en potencial.

$\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac12\cdot1{,}6\cdot10^{-27}\cdot3.000^2=7{,}2\cdot10^{-21}\ \text{J}$

$K\dfrac{q\,q'}{r}=7{,}2\cdot10^{-21}\Rightarrow q=\dfrac{7{,}2\cdot10^{-21}\cdot3}{9\cdot10^{9}\cdot(-1{,}6\cdot10^{-19})}$

$q=-1{,}5\cdot10^{-11}\ \text{C}$

La carga fija vale $-1{,}5\cdot10^{-11}\ \text{C}$, es decir, $-15\ \text{pC}$. Sale $\textbf{negativa}$, y tenía que serlo: para que la partícula, que también es negativa, se vaya frenando hasta pararse, la interacción entre ambas ha de ser repulsiva.

$\textbf{b) Hallar el valor del campo electrostático que crean las dos cargas (una vez que están en reposo) en el punto medio de ambas. (1,5 puntos)}$

El punto medio está a 1,5 m de cada carga. El módulo del campo que crea cada una es:

$E=K\dfrac{|q|}{r^2}$

$E_q=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1{,}5\cdot10^{-11}}{1{,}5^2}=6{,}0\cdot10^{-2}\ \text{N/C}$

$E_{q'}=\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{1{,}5^2}=6{,}4\cdot10^{-10}\ \text{N/C}$

Las dos cargas son negativas, así que sus campos apuntan hacia ellas y en el punto medio tienen sentidos opuestos. Por el principio de superposición se restan, y tomando como positivo el sentido del eje X:

$\vec E=\left(-6{,}0\cdot10^{-2}+6{,}4\cdot10^{-10}\right)\vec\imath$

$\vec E\simeq-6{,}0\cdot10^{-2}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

El campo en el punto medio vale $6{,}0\cdot10^{-2}\ \text{N/C}$ y apunta hacia la carga $q$. La contribución de $q'$ es cien millones de veces menor y resulta del todo despreciable: no en vano una es una carga elemental y la otra tiene casi cien millones de ellas.