Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

(A) Deducción de la velocidad y la energía en una órbita circular (1 punto)

(B) Un satélite de 500 kg orbita en una órbita circular alrededor de un planeta con un periodo de 20 h y a una distancia de su centro de $3{,}75\cdot 10^{7}\ \text{m}$.

a) Hallar el valor de la constante de gravitación universal G (0,5 puntos)
b) Cuál es el valor de la fuerza a la que se ve sometido el satélite. (0,5 puntos)
c) Hallar la energía mecánica del satélite (0,5 puntos)

Datos: $M_{\text{planeta}} = 6\cdot 10^{24}\ kg$

$\textbf{(A) Deducción de la velocidad y la energía en una órbita circular (1 punto)}$










En una órbita circular la única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria del planeta, y esa fuerza es la que hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$





Simplificando la masa del satélite se obtiene la velocidad orbital:

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$

que no depende de la masa del satélite y disminuye al alejarse del planeta.

Para la energía se suman la cinética y la potencial:

$E=\dfrac12\,m\,v^2-G\dfrac{M\,m}{r}$

Sustituyendo $v^2=GM/r$, la energía cinética resulta ser la mitad del valor absoluto de la potencial:

$E=\dfrac{G\,M\,m}{2r}-G\dfrac{M\,m}{r}$

$E=-G\dfrac{M\,m}{2r}$

El resultado es negativo, como corresponde a un sistema ligado: para escapar de la órbita habría que aportarle esa misma cantidad de energía.

$\textbf{a) Hallar el valor de la constante de gravitación universal G (0,5 puntos)}$

Se combina la velocidad orbital con la del movimiento circular uniforme para llegar a la tercera ley de Kepler:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}\Rightarrow \dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{G\,M}{r}\Rightarrow G=\dfrac{4\pi^2r^3}{M\,T^2}$

Se pasa el periodo a segundos:

$T=20\ \text{h}\cdot3.600\ \dfrac{\text{s}}{\text{h}}=7{,}2\cdot10^{4}\ \text{s}$

$G=\dfrac{4\pi^2\cdot(3{,}75\cdot10^{7})^3}{6\cdot10^{24}\cdot(7{,}2\cdot10^{4})^2}=6{,}69\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\text{kg}^{-2}$

El valor obtenido coincide con el tabulado, $6{,}67\cdot10^{-11}$, dentro del error de los datos.

$\textbf{b) Cuál es el valor de la fuerza a la que se ve sometido el satélite. (0,5 puntos)}$

$F=G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{6{,}69\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot500}{(3{,}75\cdot10^{7})^2}$

$F=1{,}43\cdot10^{2}\ \text{N}$

Sobre el satélite actúa una fuerza de $1{,}43\cdot10^{2}\ \text{N}$, siempre dirigida hacia el centro del planeta.

$\textbf{c) Hallar la energía mecánica del satélite (0,5 puntos)}$

$E=-G\dfrac{M\,m}{2r}=-\dfrac{6{,}69\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot500}{2\cdot3{,}75\cdot10^{7}}$

$E=-2{,}68\cdot10^{9}\ \text{J}$

La energía mecánica del satélite es de $-2{,}68\cdot10^{9}\ \text{J}$.