Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2021

Una muestra de ${}^{60}_{27}\text{Co}$ posee una actividad de $1{,}251\cdot 10^{11}$ Bq.

a) Completa la ecuación de desintegración indicando de que tipo se trata (0,5 puntos)

${}^{60}_{27}\text{Co}\ \longrightarrow\ \underline{\qquad} + \bar{\nu} + {}^{60}_{28}\text{Ni}$

Pasados 10 años su actividad es de $3{,}36\cdot 10^{10}$ Bq.

b) Hallar el periodo de semidesintegración (1 punto)
c) ¿Cuál es el número de núcleos que había inicialmente? (1 punto)

$\textbf{a) Completa la ecuación de desintegración indicando de que tipo se trata (0,5 puntos)}$

Se comparan los dos núcleos: el número másico se mantiene y el número atómico aumenta en una unidad.

$A=60\ \rightarrow\ 60\qquad Z=27\ \rightarrow\ 28$

Eso, junto con la presencia del antineutrino, identifica una desintegración $\textbf{beta menos}$: un neutrón del núcleo se convierte en un protón emitiendo un electrón y un antineutrino. La partícula que falta es, por tanto, el electrón:

${}^{60}_{27}\text{Co}\ \longrightarrow\ {}^{\ 0}_{-1}e+\bar\nu+{}^{60}_{28}\text{Ni}$

$\textbf{b) Hallar el periodo de semidesintegración (1 punto)}$










La actividad es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que decrece con la misma ley exponencial:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \lambda=\dfrac{1}{t}\ln\dfrac{A_0}{A}$





$\lambda=\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{1{,}251\cdot10^{11}}{3{,}36\cdot10^{10}}=\dfrac{1{,}315}{10}=0{,}131\ \text{años}^{-1}$

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}6931}{0{,}131}=5{,}27\ \text{años}$

El periodo de semidesintegración del cobalto 60 es de $5{,}27$ años.

$\textbf{c) ¿Cuál es el número de núcleos que había inicialmente? (1 punto)}$

La actividad y el número de núcleos se relacionan mediante la constante radiactiva:

$A=\lambda\,N\Rightarrow N_0=\dfrac{A_0}{\lambda}$

Para que el resultado salga en núcleos con la actividad en becquerelios, la constante hay que pasarla a $\text{s}^{-1}$:

$\lambda=\dfrac{0{,}131}{365\cdot86.400}=4{,}17\cdot10^{-9}\ \text{s}^{-1}$

$N_0=\dfrac{1{,}251\cdot10^{11}}{4{,}17\cdot10^{-9}}=3{,}00\cdot10^{19}\ \text{núcleos}$

Inicialmente la muestra tenía $3{,}00\cdot10^{19}$ núcleos de cobalto 60, unos tres gramos de sustancia.