Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Ley de Gravitación universal. Consecuencias. (2,5 puntos)

$\textbf{Ley de Gravitación universal. Consecuencias. (2,5 puntos)}$



La ley de gravitación universal, enunciada por Newton en 1687, dice que dos cuerpos puntuales de masas $m_1$ y $m_2$ separados una distancia $r$ se atraen con una fuerza:

$\vec F=-G\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\vec u_r$

En esa expresión $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\text{kg}^{-2}$ es la constante de gravitación universal, $\vec u_r$ el vector unitario que va de la masa que crea la fuerza a la que la sufre, y el signo menos indica que la fuerza es siempre atractiva.

Las dos fuerzas del par son iguales en módulo y opuestas en sentido, y están dirigidas sobre la recta que une los cuerpos: forman un par de acción y reacción.

$\textbf{Consecuencias}$

i) $\textbf{Es una fuerza central y conservativa}$. Su momento respecto del centro de fuerzas es nulo, así que el momento angular se conserva: de ahí que las órbitas sean planas y que se cumpla la segunda ley de Kepler. Y al ser conservativa se puede definir una energía potencial:

$E_p=-G\dfrac{m_1\,m_2}{r}$

ii) $\textbf{El peso y el valor de } g$. Aplicada a un cuerpo sobre la superficie de un planeta, da la intensidad del campo gravitatorio:

$g=G\dfrac{M}{R^2}$

que en la Tierra vale $9{,}8\ \text{m/s}^2$ y explica que todos los cuerpos caigan con la misma aceleración, con independencia de su masa.

iii) $\textbf{Las leyes de Kepler}$. Combinada con la segunda ley de Newton, reproduce las tres leyes que Kepler había obtenido empíricamente. En particular, para una órbita circular:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=m\dfrac{4\pi^2r}{T^2}\Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$

que es la tercera ley: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio.

iv) $\textbf{Velocidades orbital y de escape}$. De la misma igualdad salen la velocidad de una órbita circular y la mínima necesaria para escapar del campo:

$v_{\text{orb}}=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\qquad v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

v) $\textbf{Carácter universal}$. Su mayor consecuencia es conceptual: la misma ley que explica la caída de una manzana explica el movimiento de la Luna y de los planetas. Fue la primera unificación de la física, la que acabó con la separación entre el mundo terrestre y el celeste.