Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Navarra · 2022

Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes. Carga moviéndose perpendicularmente al campo. Cálculo del radio y periodo de la órbita. Carga moviéndose con un cierto ángulo respecto al campo. (2,5 puntos)

$\textbf{Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes. Carga moviéndose perpendicularmente al campo. Cálculo del radio y periodo de la órbita. Carga moviéndose con un cierto ángulo respecto al campo. (2,5 puntos)}$










Sobre una carga que se mueve dentro de un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\,(\vec v\times\vec B)$

Su primera propiedad es la que gobierna todo lo demás: al ser un producto vectorial, $\vec F$ es siempre $\textbf{perpendicular a la velocidad}$.





De ahí se sigue que su trabajo es nulo y que no puede cambiar el módulo de la velocidad ni la energía cinética de la partícula: una fuerza magnética solo curva la trayectoria.

$\textbf{Carga perpendicular al campo}$

Si $\vec v\perp\vec B$, el módulo de la fuerza es constante, $F=|q|\,v\,B$, y siempre perpendicular a la velocidad: es exactamente una fuerza centrípeta, y la trayectoria una circunferencia. Igualando con la expresión de la fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

El radio es proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula e inversamente proporcional a su carga y al campo. El periodo se obtiene de la longitud de la circunferencia:

$T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi\,m}{|q|\,B}$

y resulta $\textbf{independiente de la velocidad}$ y del radio: todas las partículas iguales tardan lo mismo en dar una vuelta, vayan deprisa o despacio. Es el principio en que se basa el ciclotrón.

$\textbf{Carga con un ángulo cualquiera}$

Si la velocidad forma un ángulo $\theta$ con el campo, se descompone en dos:

$v_\parallel=v\cos\theta\qquad v_\perp=v\operatorname{sen}\theta$

La componente paralela no da fuerza, porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo, así que se conserva y produce un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección del campo. La componente perpendicular produce el movimiento circular anterior, con radio:

$R=\dfrac{m\,v\operatorname{sen}\theta}{|q|\,B}$

La composición de ambos es una $\textbf{hélice}$ de eje paralelo al campo, cuyo paso es lo que avanza la partícula en un periodo:

$p=v_\parallel\,T=\dfrac{2\pi\,m\,v\cos\theta}{|q|\,B}$

Casos particulares: si $\theta=90^\circ$ la hélice degenera en la circunferencia, y si $\theta=0$ la fuerza es nula y la partícula sigue en línea recta sin enterarse del campo.