Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2022

(A) Explicar la reflexión total y el ángulo límite. (1,25 puntos)

(B) Una fibra óptica está compuesta por dos materiales, el núcleo con índice de refracción de 1,48 y el recubrimiento con un índice de 1,46. Los rayos que penetren en la fibra desde el aire ($n = 1$) no deben salir al exterior, con lo cual estarán contenidos en un cono, llamado cono de aceptación, cuyo ángulo ($\alpha$) lo delimita el ángulo límite en su interior.



a) Hallar el valor del ángulo límite del núcleo. (0,5 puntos)
b) Hallar el ángulo ($\alpha$) del cono de aceptación. (0,5 puntos)
c) Si la frecuencia del rayo incidente, en aire, es de $6\cdot 10^{14}$ Hz, hallar la frecuencia y la longitud de onda del rayo en el núcleo, $n = 1{,}48$. (0,25 puntos)

Dato: $c = 3\cdot 10^{8}\ m\,s^{-1}$

$\textbf{(A) Explicar la reflexión total y el ángulo límite. (1,25 puntos)}$



Cuando la luz pasa de un medio a otro menos refringente, el rayo refractado se aleja de la normal. Al aumentar el ángulo de incidencia llega un momento en que ese rayo saldría rasante a la superficie, y por encima de ese ángulo ya no hay refracción: toda la luz vuelve al primer medio. Eso es la $\textbf{reflexión total}$.

El $\textbf{ángulo límite}$ es el ángulo de incidencia que corresponde a un ángulo de refracción de $90^\circ$:

$n_1\operatorname{sen}\hat\lambda=n_2\operatorname{sen}90^\circ\Rightarrow \operatorname{sen}\hat\lambda=\dfrac{n_2}{n_1}$

Solo existe si $n_1>n_2$, es decir, si la luz va del medio más refringente al menos refringente.

$\textbf{a) Hallar el valor del ángulo límite del núcleo. (0,5 puntos)}$

$\operatorname{sen}\hat\lambda=\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{1{,}46}{1{,}48}=0{,}9865$

$\hat\lambda=80{,}6^\circ$

El ángulo límite del núcleo es de $80{,}6^\circ$: los rayos han de llegar a la pared casi rasantes para quedar confinados, que es justo lo que consigue la geometría alargada de la fibra.

$\textbf{b) Hallar el ángulo (} \boldsymbol{\alpha}\textbf{) del cono de aceptación. (0,5 puntos)}$

Un rayo que entra desde el aire formando el ángulo $\alpha$ con el eje se refracta en la cara de entrada:

$n_{\text{aire}}\operatorname{sen}\alpha=n_1\operatorname{sen}\hat r$

y llega a la pared del núcleo con el ángulo complementario, porque las dos superficies son perpendiculares:

$\hat\imath=90^\circ-\hat r$

En el caso límite $\hat\imath=\hat\lambda=80{,}6^\circ$, de modo que:

$\hat r=90^\circ-80{,}6^\circ=9{,}43^\circ$

$\operatorname{sen}\alpha=1{,}48\cdot\operatorname{sen}(9{,}43^\circ)=0{,}2425$

$\alpha=14{,}0^\circ$

El mismo resultado se obtiene directamente con la apertura numérica:

$\operatorname{sen}\alpha=\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\sqrt{1{,}48^2-1{,}46^2}=0{,}2425$

El cono de aceptación tiene un semiángulo de $14{,}0^\circ$.

$\textbf{c) Si la frecuencia del rayo incidente, en aire, es de } \boldsymbol{6\cdot 10^{14}}\textbf{ Hz, hallar la frecuencia y la longitud de onda del rayo en el núcleo, } \boldsymbol{n = 1{,}48}\textbf{. (0,25 puntos)}$

La frecuencia la impone el foco emisor y $\textbf{no cambia}$ al pasar de un medio a otro:

$f=6\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Lo que cambia es la velocidad de propagación y, con ella, la longitud de onda:

$v=\dfrac{c}{n_1}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}48}=2{,}03\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{2{,}03\cdot10^{8}}{6\cdot10^{14}}=3{,}38\cdot10^{-7}\ \text{m}$

En el núcleo la luz vibra con la misma frecuencia, $6\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, pero su longitud de onda se reduce a $338\ \text{nm}$.