Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Navarra · 2022

(A) Expresión de la energía potencial eléctrica. Elección del origen. (1 punto)

(B) Un partícula con carga negativa se mueve en una órbita circular alrededor de otra, fija, de la misma masa y carga pero positiva en una órbita de radio $0{,}53\cdot 10^{-10}\ \text{m}$ (despreciar los efectos gravitatorios).

a) Hallar el número de vueltas que da por segundo. (0,75 puntos)
b) Hallar la energía mecánica de la carga negativa. (0,75 puntos)

Datos: $m = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ kg$; $q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ C$; $K = 9\cdot 10^{9}\ \text{Nm}^{2}\text{C}^{-2}$

$\textbf{(A) Expresión de la energía potencial eléctrica. Elección del origen. (1 punto)}$

La energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas puntuales separadas una distancia $r$ es:

$E_p=K\dfrac{Q\,q}{r}$

Representa el trabajo que hay que realizar desde fuera para traer una carga desde el infinito hasta esa distancia de la otra, y su signo lo dan las cargas: positiva si son del mismo signo (se repelen y hay que empujarlas) y negativa si son de signos contrarios (se atraen y el sistema está ligado).

En cuanto al $\textbf{origen}$, la energía potencial siempre se define salvo una constante, porque lo que tiene significado físico es su variación:

$W=-\Delta E_p$

Se elige por convenio $E_p=0$ en el $\textbf{infinito}$, que es donde la interacción se anula. Esa elección es la que da la expresión anterior sin ningún término añadido, y es la que hace que el signo de la energía informe directamente de si el sistema está ligado o no.

$\textbf{a) Hallar el número de vueltas que da por segundo. (0,75 puntos)}$










La única fuerza sobre la carga negativa es la atracción de Coulomb, que hace de fuerza centrípeta de su órbita circular:

$K\dfrac{q^2}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow v=q\sqrt{\dfrac{K}{m\,r}}$





$v=1{,}6\cdot10^{-19}\sqrt{\dfrac{9\cdot10^{9}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot0{,}53\cdot10^{-10}}}=2{,}19\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

El número de vueltas por segundo es la frecuencia del movimiento circular:

$f=\dfrac{v}{2\pi r}=\dfrac{2{,}19\cdot10^{6}}{2\pi\cdot0{,}53\cdot10^{-10}}$

$f=6{,}56\cdot10^{15}\ \text{vueltas/s}$

La carga da $6{,}56\cdot10^{15}$ vueltas por segundo, más de seis mil billones.

$\textbf{b) Hallar la energía mecánica de la carga negativa. (0,75 puntos)}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial eléctrica:

$E=\dfrac12\,m\,v^2-K\dfrac{q^2}{r}$

De la condición de órbita circular se sigue que $m v^2=K q^2/r$, así que la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial:

$E=\dfrac12\,K\dfrac{q^2}{r}-K\dfrac{q^2}{r}=-K\dfrac{q^2}{2r}$

$E=-\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{2\cdot0{,}53\cdot10^{-10}}=-2{,}17\cdot10^{-18}\ \text{J}$

$E=-13{,}6\ \text{eV}$

La energía es negativa, como corresponde a un sistema ligado. El valor obtenido, $-13{,}6\ \text{eV}$, es exactamente la energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno: el problema es el modelo de Bohr con el radio de la primera órbita.