Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dadas dos masas puntuales iguales y de 10 kg están situadas en los puntos $(0,\sqrt{3})\,m$ y $(0,-\sqrt{3})\,m$ respectivamente.

a) Hallar el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio que crean ambas masas en el punto $P(1,0)\,m$. (1 punto)
b) Calcular el trabajo realizado por el campo para mover una partícula de 3 kg del punto P al punto $Q(2,0)\,m$. (1 punto)
c) Explica el significado del signo del trabajo obtenido en el apartado anterior. (0,5 puntos)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) Hallar el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio que crean ambas masas en el punto } \boldsymbol{P(1,0)\,m}\textbf{. (1 punto)}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec g=-G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$

El punto $P$ equidista de las dos masas:

$r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2\ \text{m}$





El módulo del campo que crea cada masa es el mismo:

$g_1=g_2=G\dfrac{m}{r^2}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10}{2^2}=1{,}67\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

Cada uno apunta desde $P$ hacia su masa, es decir, según los unitarios:

$\vec u_1=\dfrac{(0,\sqrt3)-(1,0)}{2}=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$

$\vec u_2=\dfrac{(0,-\sqrt3)-(1,0)}{2}=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$

Por el principio de superposición, las componentes verticales se cancelan y solo quedan las horizontales:

$\vec g=2\cdot1{,}67\cdot10^{-10}\cdot\left(-\dfrac12\right)\vec\imath=-1{,}67\cdot10^{-10}\,\vec\imath\ \text{N/kg}$

El potencial es escalar y se suma directamente:

$V_P=-G\dfrac{m}{r}-G\dfrac{m}{r}=-\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10}{2}=-6{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

En $P$ el campo vale $1{,}67\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$ y apunta hacia el origen, y el potencial es de $-6{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$.

$\textbf{b) Calcular el trabajo realizado por el campo para mover una partícula de 3 kg del punto P al punto } \boldsymbol{Q(2,0)\,m}\textbf{. (1 punto)}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo no depende del camino:

$W=m\,(V_P-V_Q)$

En $Q$ la distancia a cada masa es:

$r'=\sqrt{2^2+3}=\sqrt7=2{,}65\ \text{m}$

$V_Q=-\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10}{2{,}65}=-5{,}04\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

$W=3\left(-6{,}67\cdot10^{-10}+5{,}04\cdot10^{-10}\right)$

$W=-4{,}88\cdot10^{-10}\ \text{J}$

$\textbf{c) Explica el significado del signo del trabajo obtenido en el apartado anterior. (0,5 puntos)}$

El trabajo del campo sale negativo porque la fuerza gravitatoria es atractiva y el desplazamiento de $P$ a $Q$ aleja la partícula de las dos masas: fuerza y desplazamiento forman un ángulo mayor de $90^\circ$ y el campo se opone al movimiento.

Dicho de otro modo, ese desplazamiento no es espontáneo. Para llevar la partícula desde $P$ hasta $Q$ hay que aportar desde fuera un trabajo de $4{,}88\cdot10^{-10}\ \text{J}$, que queda almacenado como energía potencial del sistema.