Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre. Definir el campo (intensidad) gravitatorio explicando cada uno de sus términos. Valor de $g_{o}$. Deducir, de la forma general de la energía potencial, el valor en las proximidades de la superficie ($mgh$). (2,5 puntos)

$\textbf{Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre. Definir el campo (intensidad) gravitatorio explicando cada uno de sus términos. Valor de } \boldsymbol{g_{o}}\textbf{. Deducir, de la forma general de la energía potencial, el valor en las proximidades de la superficie (} \boldsymbol{mgh}\textbf{). (2,5 puntos)}$










La $\textbf{intensidad del campo gravitatorio}$ en un punto es la fuerza que el campo ejerce sobre la unidad de masa colocada en él:

$\vec g=\dfrac{\vec F}{m}=-G\dfrac{M_T}{r^2}\,\vec u_r$





En esa expresión:

- $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\text{kg}^{-2}$ es la constante de gravitación universal, la misma en todo el universo;
- $M_T$ es la masa de la Tierra, que es la que crea el campo;
- $r$ es la distancia desde el centro de la Tierra al punto considerado;
- $\vec u_r$ es el vector unitario que va del centro de la Tierra al punto, y el signo menos indica que el campo apunta siempre hacia la Tierra: la interacción gravitatoria es siempre atractiva.

Se mide en $\text{N/kg}$, que equivale a $\text{m/s}^2$, y de hecho coincide con la aceleración con la que cae un cuerpo abandonado en ese punto.

En la superficie terrestre, con $r=R_T=6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$g_0=G\dfrac{M_T}{R_T^2}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2}=9{,}81\ \text{m/s}^2$

$\textbf{De la energía potencial general a } mgh$

La energía potencial de una masa $m$ situada a una distancia $r$ del centro de la Tierra, tomando el origen en el infinito, es:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

Si el cuerpo se eleva desde la superficie hasta una altura $h$, la variación de energía potencial es:

$\Delta E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T+h}+G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=G\,M_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{R_T+h}\right)$

Poniendo denominador común:

$\Delta E_p=G\,M_T\,m\,\dfrac{h}{R_T\,(R_T+h)}$

Y aquí entra la aproximación: en las proximidades de la superficie la altura es despreciable frente al radio terrestre, $h\ll R_T$, de modo que $R_T+h\approx R_T$:

$\Delta E_p\approx G\,M_T\,m\,\dfrac{h}{R_T^2}=m\left(G\dfrac{M_T}{R_T^2}\right)h$

$\Delta E_p=m\,g_0\,h$

Que es la expresión conocida. Conviene subrayar sus dos límites: solo vale cerca de la superficie, donde $g_0$ puede considerarse constante, y no es una energía potencial absoluta sino una $\textbf{variación}$, porque implícitamente se ha tomado el origen de potenciales en la superficie y no en el infinito.