Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2023

(A) Leyes del desplazamiento radiactivo (emisiones $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$). (1 punto)

(B) En el accidente de Fukushima, se estima que se pudo escapar una cantidad de Sr-90 con una actividad 900 TBq. Si el periodo de semidesintegración es de 30 años (1 año = 365 días):

a) ¿Cuántos núcleos se emitieron? (0,5 puntos)
b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que quede la décima parte de la cantidad de Sr-90 emitida? (0,5 puntos)
c) ¿Cuál será la actividad del Sr-90 en ese momento? (0,5 puntos)

$\textbf{(A) Leyes del desplazamiento radiactivo (emisiones } \boldsymbol{\alpha}\textbf{, } \boldsymbol{\beta}\textbf{ y } \boldsymbol{\gamma}\textbf{). (1 punto)}$

Las leyes de Soddy y Fajans dicen cómo cambia un núcleo al emitir cada tipo de radiación.

$\textbf{Emisión alfa}$. El núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio: pierde dos protones y dos neutrones, de modo que el número atómico baja en dos unidades y el másico en cuatro.

${}^{A}_{Z}\text{X}\ \longrightarrow\ {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y}+{}^{4}_{2}\text{He}$

$\textbf{Emisión beta menos}$. Un neutrón se transforma en un protón emitiendo un electrón y un antineutrino: el número másico no cambia y el atómico sube en una unidad.

${}^{A}_{Z}\text{X}\ \longrightarrow\ {}^{\ \ A}_{Z+1}\text{Y}+{}^{\ 0}_{-1}e+\bar\nu$

$\textbf{Emisión gamma}$. El núcleo, que ha quedado excitado tras una desintegración anterior, se desexcita emitiendo un fotón muy energético. No cambian ni el número atómico ni el másico: sigue siendo el mismo isótopo del mismo elemento.

${}^{A}_{Z}\text{X}^{*}\ \longrightarrow\ {}^{A}_{Z}\text{X}+\gamma$

En los tres casos se conservan la carga y el número de nucleones, que es lo que permite ajustar cualquier reacción nuclear.

$\textbf{a) ¿Cuántos núcleos se emitieron? (0,5 puntos)}$



La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos sin desintegrar:

$A=\lambda\,N\Rightarrow N=\dfrac{A}{\lambda}$

y la constante radiactiva se obtiene del periodo de semidesintegración.

Se pasa el periodo a segundos:

$T_{1/2}=30\ \text{años}\cdot365\cdot86.400=9{,}46\cdot10^{8}\ \text{s}$

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0{,}6931}{9{,}46\cdot10^{8}}=7{,}33\cdot10^{-10}\ \text{s}^{-1}$

Y la actividad, a becquerelios:

$A=900\ \text{TBq}=9\cdot10^{14}\ \text{Bq}$

$N=\dfrac{9\cdot10^{14}}{7{,}33\cdot10^{-10}}=1{,}23\cdot10^{24}\ \text{núcleos}$

Se escaparon del orden de $1{,}23\cdot10^{24}$ núcleos de estroncio 90, unos dos moles.

$\textbf{b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que quede la décima parte de la cantidad de Sr-90 emitida? (0,5 puntos)}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow 0{,}1=e^{-\lambda t}$

$t=\dfrac{\ln 10}{\lambda}=\dfrac{2{,}303}{7{,}33\cdot10^{-10}}=3{,}14\cdot10^{9}\ \text{s}$

$t=\dfrac{3{,}14\cdot10^{9}}{365\cdot86.400}=99{,}7\ \text{años}$

Habrá que esperar unos $99{,}7$ años, algo más de tres periodos de semidesintegración.

$\textbf{c) ¿Cuál será la actividad del Sr-90 en ese momento? (0,5 puntos)}$

La actividad es proporcional al número de núcleos, así que se reduce en la misma proporción:

$A=\dfrac{A_0}{10}=\dfrac{900}{10}=90\ \text{TBq}$

$A=9\cdot10^{13}\ \text{Bq}$

La actividad será entonces de $9\cdot10^{13}\ \text{Bq}$, la décima parte de la inicial.