Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2023

(A) ¿Qué es y qué condiciones se tienen que dar para que se produzca la refracción total? Dibujo. Angulo límite. (1 puntos)

(B) a) Queremos construir un prisma de vidrio ($n = 1{,}6$) que, sumergido en aire, no deje pasar nada de luz a través de la superficie AB si los rayos inciden como indica la figura. Calcular el máximo ángulo $\delta$ del prisma. (0,5 puntos)



b) Si ahora el prisma, cuyo ángulo has calculado, está sumergido en un medio en el cual la luz se propaga con una velocidad de $2{,}5\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, hallar el ángulo con el cual la luz sale de la superficie AB si incide sobre la superficie AC como indica la figura. (0,5 puntos)
c) En esta segunda situación, calcular el ángulo mínimo con que deberemos incidir sobre la superficie AC para que no pase nada de luz a través de la superficie AB. (0,5 puntos)

Datos: $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; $n_{\text{aire}} = 1$

$\textbf{(A) ¿Qué es y qué condiciones se tienen que dar para que se produzca la refracción total? Dibujo. Angulo límite. (1 puntos)}$










La reflexión total es el fenómeno por el que la luz, al llegar a la superficie que separa dos medios, no pasa al segundo medio y vuelve entera al primero.





Para que se produzca han de darse dos condiciones:

i) La luz debe ir del medio $\textbf{más refringente al menos refringente}$, es decir, $n_1>n_2$.

ii) El ángulo de incidencia debe ser mayor que el $\textbf{ángulo límite}$, que es aquel para el que el rayo refractado saldría rasante a la superficie, con $\hat r=90^\circ$:

$n_1\operatorname{sen}\hat\lambda=n_2\operatorname{sen}90^\circ\Rightarrow \operatorname{sen}\hat\lambda=\dfrac{n_2}{n_1}$

Para ángulos mayores que $\hat\lambda$ la ley de Snell exigiría un seno mayor que 1, lo que es imposible: no hay rayo refractado y toda la energía se refleja.

$\textbf{(B) a) Queremos construir un prisma de vidrio } \boldsymbol{(n = 1{,}6)}\textbf{ que, sumergido en aire, no deje pasar nada de luz a través de la superficie AB si los rayos inciden como indica la figura. Calcular el máximo ángulo } \boldsymbol{\delta}\textbf{ del prisma. (0,5 puntos)}$

El ángulo límite de la superficie vidrio-aire es:

$\operatorname{sen}\hat\lambda=\dfrac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}}=\dfrac{1}{1{,}6}=0{,}625\Rightarrow \hat\lambda=38{,}7^\circ$

Los rayos entran perpendicularmente a la cara AC, así que no se desvían y viajan horizontales dentro del prisma. La cara AB forma con la horizontal el ángulo $\delta$, de modo que su normal forma con la horizontal el ángulo $90^\circ-\delta$, y ese es el ángulo con el que el rayo incide sobre AB:

$\hat\imath=90^\circ-\delta$

Para que no pase nada de luz hace falta que ese ángulo supere al límite:

$90^\circ-\delta\ge\hat\lambda\Rightarrow \delta\le90^\circ-38{,}7^\circ$

$\delta_{\max}=51{,}3^\circ$

El ángulo del prisma no puede pasar de $51{,}3^\circ$.

$\textbf{b) Si ahora el prisma, cuyo ángulo has calculado, está sumergido en un medio en el cual la luz se propaga con una velocidad de } \boldsymbol{2{,}5\cdot 10^{8}\ \text{m/s}}\textbf{, hallar el ángulo con el cual la luz sale de la superficie AB si incide sobre la superficie AC como indica la figura. (0,5 puntos)}$

El índice de refracción del nuevo medio es:

$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{2{,}5\cdot10^{8}}=1{,}2$

Con ese medio el ángulo límite del vidrio cambia:

$\operatorname{sen}\hat\lambda'=\dfrac{1{,}2}{1{,}6}=0{,}75\Rightarrow \hat\lambda'=48{,}6^\circ$

El rayo sigue entrando perpendicular a AC y llegando a AB con $38{,}7^\circ$, que ahora es $\textbf{menor}$ que el ángulo límite, así que ya no hay reflexión total y la luz sale. Aplicando la ley de Snell en AB:

$n_{\text{vidrio}}\operatorname{sen}38{,}7^\circ=n\operatorname{sen}\hat r$

$\operatorname{sen}\hat r=\dfrac{1{,}6\cdot0{,}625}{1{,}2}=0{,}8333$

$\hat r=56{,}4^\circ$

La luz sale de la cara AB formando $56{,}4^\circ$ con la normal a esa cara.

$\textbf{c) En esta segunda situación, calcular el ángulo mínimo con que deberemos incidir sobre la superficie AC para que no pase nada de luz a través de la superficie AB. (0,5 puntos)}$

Para recuperar la reflexión total en AB hay que aumentar el ángulo con el que el rayo llega a esa cara, y para eso ya no puede entrar perpendicular a AC: hay que inclinarlo.

Si dentro del vidrio el rayo forma un ángulo $\hat r_1$ con la normal a AC, el ángulo con el que llega a AB pasa a ser:

$\hat\imath_{AB}=(90^\circ-\delta)+\hat r_1$

inclinando el rayo hacia el vértice C. Imponiendo la condición de reflexión total:

$38{,}7^\circ+\hat r_1\ge48{,}6^\circ\Rightarrow \hat r_1\ge9{,}91^\circ$

Y ahora se retrocede a la cara AC con la ley de Snell, desde el medio exterior:

$n\operatorname{sen}\hat\imath=n_{\text{vidrio}}\operatorname{sen}\hat r_1$

$\operatorname{sen}\hat\imath=\dfrac{1{,}6\cdot\operatorname{sen}9{,}91^\circ}{1{,}2}=0{,}2294$

$\hat\imath=13{,}3^\circ$

Hay que incidir sobre AC con al menos $13{,}3^\circ$ respecto de su normal.