Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Navarra · 2023

Por el conductor de la figura, situado en el eje Z y muy largo, circula una corriente I. Si colocamos un electrón a una distancia $d = 1\ \text{cm}$, que se mueve con una velocidad $\vec{v} = 500\,\dfrac{m}{s}\,\vec{k}$, el electrón se ve sometido a una fuerza $\vec{F} = -3{,}2\cdot 10^{-20}\,N\ \vec{\jmath}$, debido al campo $\vec{B}$ creado por el conductor.

a) Hallar el valor del campo $\vec{B}$ (notación vectorial) que sufre el electrón. (1 punto)
b) Hallar el valor y el sentido de la corriente en el conductor. (0,5 puntos)
c) Representar todas las magnitudes implicada ($\vec{B}$, intensidad, $\vec{v}$, $\vec{F}$). (0,5 puntos)
d) ¿Cuánto valdrá la fuerza que actúa sobre el electrón si su velocidad es $\vec{v} = 500\,\dfrac{m}{s}\,\vec{\imath}$? (0,5 puntos)










Datos: $q_{\text{electrón}} = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ C$; $\mu_{o} = 4\pi\cdot 10^{-7}\ T\,m/A$

$\textbf{a) Hallar el valor del campo } \boldsymbol{\vec{B}}\textbf{ (notación vectorial) que sufre el electrón. (1 punto)}$










La fuerza sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético es la de Lorentz:

$\vec F=q\,(\vec v\times\vec B)$

El conductor está sobre el eje Z, así que el campo que crea en un punto del eje Y es perpendicular a los dos, es decir, va en la dirección del eje X:

$\vec B=B\,\vec\imath$





Se hace el producto vectorial con la velocidad del enunciado:

$\vec v\times\vec B=500\,\vec k\times B\,\vec\imath=500\,B\,\vec\jmath$

$\vec F=q\cdot500\,B\,\vec\jmath=(-1{,}6\cdot10^{-19})\cdot500\,B\,\vec\jmath$

Igualando con la fuerza que da el enunciado:

$-8\cdot10^{-17}\,B=-3{,}2\cdot10^{-20}$

$B=4\cdot10^{-4}\ \text{T}$

$\vec B=4\cdot10^{-4}\,\vec\imath\ \text{T}$

El campo vale $4\cdot10^{-4}\ \text{T}$ y va en el sentido positivo del eje X.

$\textbf{b) Hallar el valor y el sentido de la corriente en el conductor. (0,5 puntos)}$

El campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $d$ vale:

$B=\dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}\Rightarrow I=\dfrac{B\cdot2\pi\,d}{\mu_0}$

Con $d=1\ \text{cm}=0{,}01\ \text{m}$:

$I=\dfrac{4\cdot10^{-4}\cdot2\pi\cdot0{,}01}{4\pi\cdot10^{-7}}=20\ \text{A}$

En cuanto al sentido, la regla de la mano derecha aplicada a un conductor que llevara la corriente en el sentido positivo del eje Z daría, en un punto del eje Y positivo, un campo en el sentido $\textbf{negativo}$ del eje X. Como el campo obtenido va en el sentido positivo, la corriente circula $\textbf{en el sentido negativo del eje Z}$, es decir, hacia abajo.

Por el conductor circulan $20\ \text{A}$ hacia abajo.

$\textbf{c) Representar todas las magnitudes implicada (} \boldsymbol{\vec{B}}\textbf{, intensidad, } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{F}}\textbf{). (0,5 puntos)}$

En la figura del primer apartado están las cuatro: la corriente baja por el eje Z, el campo magnético sale del papel en toda la región donde está el electrón, la velocidad de este va hacia arriba y la fuerza que sufre apunta hacia el conductor, en el sentido negativo del eje Y.

$\textbf{d) ¿Cuánto valdrá la fuerza que actúa sobre el electrón si su velocidad es } \boldsymbol{\vec{v} = 500\,\dfrac{m}{s}\,\vec{\imath}}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Ahora la velocidad tiene la misma dirección que el campo magnético:

$\vec F=q\,(\vec v\times\vec B)=q\,(500\,\vec\imath\times4\cdot10^{-4}\,\vec\imath)$

El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo:

$\vec F=\vec 0\ \text{N}$

La fuerza es nula. Una carga que se mueve paralelamente al campo magnético no experimenta ninguna fuerza magnética, por rápido que vaya.