Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2023

Queremos describir el movimiento de las olas del mar, que suponemos perfectamente armónicas. Para ello nos situamos en una boya (que tomamos como origen) a 60 m de la orilla y vemos cómo se alejan. Observamos que la boya vibra de forma armónica con una frecuencia de 0,5 Hz y que las olas tardan 0,5 minutos en llegar a la orilla desde la boya. La velocidad máxima de vibración de la boya es de $\pi$ m/s y en el instante inicial (cuando comenzamos las mediciones) la boya está en el punto medio de su movimiento y con una velocidad negativa.

a) ¿Cuántas olas llegan a la orilla por minuto? (0,5 puntos)
b) ¿Cuál es la amplitud, la velocidad de propagación de las ondas y la longitud de onda? (1 punto)
c) Obtener la expresión matemática de la onda. (1 punto)

$\textbf{a) ¿Cuántas olas llegan a la orilla por minuto? (0,5 puntos)}$



La frecuencia es el número de oscilaciones completas por segundo, y coincide con el número de olas que pasan por un punto en ese tiempo:

$f=0{,}5\ \text{Hz}$

En un minuto llegan, por tanto:

$n=f\cdot60=0{,}5\cdot60=30\ \text{olas}$

Llegan $30$ olas por minuto, una cada dos segundos.

$\textbf{b) ¿Cuál es la amplitud, la velocidad de propagación de las ondas y la longitud de onda? (1 punto)}$

La velocidad máxima de vibración de la boya es la de su movimiento armónico simple:

$v_{\max}=A\,\omega\qquad \omega=2\pi f=2\pi\cdot0{,}5=\pi\ \text{rad/s}$

$A=\dfrac{v_{\max}}{\omega}=\dfrac{\pi}{\pi}=1\ \text{m}$

La velocidad de propagación sale del recorrido de la ola hasta la orilla, pasando el tiempo a segundos:

$t=0{,}5\ \text{min}=30\ \text{s}$

$v=\dfrac{60}{30}=2\ \text{m/s}$

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{2}{0{,}5}=4\ \text{m}$

La amplitud es de $1\ \text{m}$, las olas avanzan a $2\ \text{m/s}$ y su longitud de onda es de $4\ \text{m}$.

$\textbf{c) Obtener la expresión matemática de la onda. (1 punto)}$

Se toma la boya como origen y el sentido positivo del eje X hacia la orilla, que es hacia donde avanzan las olas:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/m}$

La fase inicial la fijan las dos condiciones del enunciado. Que la boya esté en el punto medio de su movimiento significa elongación nula:

$y(0,0)=\operatorname{sen}\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\quad\text{o}\quad \varphi_0=\pi$

Y que su velocidad sea negativa decide entre ambas:

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0<0\Rightarrow \cos\varphi_0<0\Rightarrow \varphi_0=\pi\ \text{rad}$

$y(x,t)=1\cdot\operatorname{sen}\left(\pi\,t-\dfrac{\pi}{2}\,x+\pi\right)\ \text{m}$