Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Calcular la masa de un pequeño cuerpo celeste (supongamos que se trata de una esfera maciza) sabiendo que posee un satélite que orbita, en una órbita circular, en torno a él con un radio de 500 km y un periodo de 20 días. (1 punto)

El cuerpo celeste tiene una densidad de $5.500\ \text{kg}/\text{m}^{3}$. ¿A qué altura, respecto a su superficie, habría que elevar un objeto en ese cuerpo celeste para que su peso se reduzca un 10 %? (1,5 puntos)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$

$\textbf{Calcular la masa de un pequeño cuerpo celeste (supongamos que se trata de una esfera maciza) sabiendo que posee un satélite que orbita, en una órbita circular, en torno a él con un radio de 500 km y un periodo de 20 días. (1 punto)}$










La atracción gravitatoria del cuerpo celeste hace de fuerza centrípeta sobre su satélite, que describe un movimiento circular uniforme:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=m\dfrac{4\pi^2r}{T^2}$

Despejando la masa se obtiene la tercera ley de Kepler:

$M=\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,T^2}$





Se pasan el radio y el periodo a unidades del Sistema Internacional:

$r=500\ \text{km}=5\cdot10^{5}\ \text{m}$

$T=20\ \text{días}\cdot86.400\ \dfrac{\text{s}}{\text{día}}=1{,}728\cdot10^{6}\ \text{s}$

$M=\dfrac{4\pi^2\cdot(5\cdot10^{5})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(1{,}728\cdot10^{6})^2}=2{,}48\cdot10^{16}\ \text{kg}$

La masa del cuerpo celeste es de $2{,}48\cdot10^{16}\ \text{kg}$, del orden de la de un asteroide pequeño.

$\textbf{El cuerpo celeste tiene una densidad de } \boldsymbol{5.500\ \text{kg}/\text{m}^{3}}\textbf{. ¿A qué altura, respecto a su superficie, habría que elevar un objeto en ese cuerpo celeste para que su peso se reduzca un 10 \%? (1,5 puntos)}$

Primero hace falta el radio del cuerpo, que sale de la densidad suponiéndolo una esfera maciza:

$\rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\frac43\pi R^3}\Rightarrow R=\sqrt[3]{\dfrac{3\,M}{4\pi\,\rho}}$

$R=\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot2{,}48\cdot10^{16}}{4\pi\cdot5.500}}=1{,}02\cdot10^{4}\ \text{m}$

El cuerpo tiene apenas diez kilómetros de radio.

El peso es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio, que cae con el cuadrado de la distancia al centro:

$\dfrac{P}{P_0}=\dfrac{g}{g_0}=\dfrac{R^2}{(R+h)^2}=0{,}9$

$R+h=\dfrac{R}{\sqrt{0{,}9}}\Rightarrow h=R\left(\dfrac{1}{\sqrt{0{,}9}}-1\right)$

$h=1{,}02\cdot10^{4}\cdot0{,}0541=554\ \text{m}$

Basta con subir el objeto $554\ \text{m}$ sobre la superficie. En un cuerpo tan pequeño la gravedad varía muchísimo en distancias que en la Tierra serían irrelevantes: aquí haría falta subir más de 300 km para el mismo efecto.